Palindrome Partition CodeForces - 932G 回文树+DP+(回文后缀的等差性质)

题意:

给出一个长度为偶数的字符串S,要求把S分成k部分,其中k为任意偶数,设为a[1..k],且满足对于任意的i,有a[i]=a[k-i+1]。问划分的方案数。 
n<=1000000

 

题解:

反正我是不会做   (我是转载的yyb博客,巨佬写的超级超级详细
基本就是照着laofulaofu的打了一遍(laofu太强啦)

这题分成了两个步骤
如果直接分kk段我们是没法直接判断的
假设两段si,sk−i+1
因为si=sk−i+1=x1x2.....xj  
假设si的开始位置为p
假设原串S的长度为n
si=S[p]S[p+1]....S[p+j−1]
sk−i+1=S[n−j−p+1]S[n−j−p+2]...
对应相等的关系是
S[p]=S[n−p−j+1]
如果p=1考虑一下特殊情况
那么就是S[1]=S[n−j]
那么,如果我们有一个串S′
S′=S[1]S[n]S[2]S[n−2].....
那么,对应到上面的相等关系里面,
就是S′[1..j]是一个回文串
其他的每一组对应关系也是如此
所以题目转换成了:
告诉你了S′回答把S′分为若干个长度为偶数的回文串的方案数
(如果没有搞清楚可以手玩一下)

这个就是一个裸的dp了
设f[i]f[i]表示S′[1..i]S′[1..i]划分为若干长度为偶数的回文串的方案数
得到转移方程:

f[i]=∑jf[j−1]


其中,S′[j,i]S′[j,i]是回文串
那么,每一个jj对应的位置相当于是S′[1..i]S′[1..i]的回文后缀
构建出回文树之后沿着last跳fail就可以得到所有的j的位置

 

这样子的复杂度是O(回文串数量)的,显然会超时,考虑如何优化。 
有一个小结论就是一个回文串S的一个后缀T是回文串当且仅当T是S的border。 
有一个性质就是一个串的所有border可以划分成O(log)段等差数列。 

维护pre[p]表示节点p下一个等差数列的末项。 d[p]表示公差

 

Palindrome Partition CodeForces - 932G 回文树+DP+(回文后缀的等差性质)
  1 #include <set>
  2 #include <map>
  3 #include <stack>
  4 #include <queue>
  5 #include <cmath>
  6 #include <ctime>
  7 #include <cstdio>
  8 #include <string>
  9 #include <vector>
 10 #include <cstring>
 11 #include <iostream>
 12 #include <algorithm>
 13 #include <unordered_map>
 14 
 15 #define  pi    acos(-1.0)
 16 #define  eps   1e-9
 17 #define  fi    first
 18 #define  se    second
 19 #define  rtl   rt<<1
 20 #define  rtr   rt<<1|1
 21 #define  bug                printf("******\n")
 22 #define  mem(a, b)          memset(a,b,sizeof(a))
 23 #define  name2str(x)        #x
 24 #define  fuck(x)            cout<<#x" = "<<x<<endl
 25 #define  sfi(a)             scanf("%d", &a)
 26 #define  sffi(a, b)         scanf("%d %d", &a, &b)
 27 #define  sfffi(a, b, c)     scanf("%d %d %d", &a, &b, &c)
 28 #define  sffffi(a, b, c, d) scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d)
 29 #define  sfL(a)             scanf("%lld", &a)
 30 #define  sffL(a, b)         scanf("%lld %lld", &a, &b)
 31 #define  sfffL(a, b, c)     scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &c)
 32 #define  sffffL(a, b, c, d) scanf("%lld %lld %lld %lld", &a, &b, &c, &d)
 33 #define  sfs(a)             scanf("%s", a)
 34 #define  sffs(a, b)         scanf("%s %s", a, b)
 35 #define  sfffs(a, b, c)     scanf("%s %s %s", a, b, c)
 36 #define  sffffs(a, b, c, d) scanf("%s %s %s %s", a, b,c, d)
 37 #define  FIN                freopen("../in.txt","r",stdin)
 38 #define  gcd(a, b)          __gcd(a,b)
 39 #define  lowbit(x)          x&-x
 40 #define  IO                 iOS::sync_with_stdio(false)
 41 
 42 
 43 using namespace std;
 44 typedef long long LL;
 45 typedef unsigned long long ULL;
 46 const ULL seed = 13331;
 47 const LL INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
 48 const int maxn = 1e6 + 7;
 49 const int maxm = 8e6 + 10;
 50 const int INF = 0x3f3f3f3f;
 51 const int mod = 1e9 + 7;
 52 
 53 struct Palindrome_Automaton {
 54     int len[maxn], next[maxn][26], fail[maxn], cnt[maxn];
 55     int num[maxn], S[maxn], sz, n, last, d[maxn], pre[maxn];
 56 
 57     int newnode(int l) {
 58         for (int i = 0; i < 26; ++i)next[sz][i] = 0;
 59         cnt[sz] = num[sz] = 0, len[sz] = l;
 60         return sz++;
 61     }
 62 
 63     void init() {
 64         sz = n = last = 0;
 65         newnode(0);
 66         newnode(-1);
 67         S[0] = -1;
 68         fail[0] = 1;
 69     }
 70 
 71     int get_fail(int x) {
 72         while (S[n - len[x] - 1] != S[n])x = fail[x];
 73         return x;
 74     }
 75 
 76     void add(int c, int pos) {
 77         c -= 'a';
 78         S[++n] = c;
 79         int cur = get_fail(last);
 80         if (!next[cur][c]) {
 81             int now = newnode(len[cur] + 2);
 82             fail[now] = next[get_fail(fail[cur])][c];
 83             next[cur][c] = now;
 84             num[now] = num[fail[now]] + 1;
 85             d[now] = len[now] - len[fail[now]];
 86             pre[now] = (d[now] == d[fail[now]] ? pre[fail[now]] : fail[now]);
 87         }
 88         last = next[cur][c];
 89         cnt[last]++;
 90     }
 91 
 92 } pam;
 93 
 94 char str[maxn], s[maxn];
 95 LL dp[maxn], f[maxn];
 96 
 97 int main() {
 98 //    FIN;
 99     sfs(str + 1);
100     int len = strlen(str + 1), n = 0;
101     for (int i = 1; i <= len; i += 2) s[i] = str[++n];
102     n = len;
103     for (int i = 2; i <= len; i += 2) s[i] = str[n--];
104     dp[0] = 1;
105     pam.init();
106     for (int i = 1; i <= len; ++i) {
107         pam.add(s[i], i);
108         for (int p = pam.last; p; p = pam.pre[p]) {
109             f[p] = dp[i - pam.len[pam.pre[p]] - pam.d[p]];
110             if (pam.d[p] == pam.d[pam.fail[p]]) f[p] = (f[p] + f[pam.fail[p]]) % mod;
111             if (i % 2 == 0) dp[i] = (dp[i] + f[p]) % mod;
112         }
113     }
114     printf("%lld\n", dp[len]);
115     return 0;
116 }
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