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六、列空间和零空间
对向量子空间 S S S和 T T T，有 S ∩ T S \cap T S∩T也是向量子空间。
对 m × n m \times n m×n矩阵 A A A， n × 1 n \times 1 n×1矩阵 x x x， m × 1 m \times 1 m×1矩阵 b b b，运算 A x = b Ax=b Ax=b：
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 ( n − 1 ) a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 ( n − 1 ) a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m ( n − 1 ) a m n ] ⋅ [ x 1 x 2 ⋮ x n − 1 x n ] = [ b 1 b 2 ⋮ b m ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2(n-1)} & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{m(n-1)} & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1(n−1)a2(n−1)⋮am(n−1)a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn−1xn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤
由 A A A的列向量生成的子空间为 A A A的列空间；
A x = b Ax=b Ax=b有非零解当且仅当 b b b属于 A A A的列空间
A A A的零空间是 A x = 0 Ax=0 Ax=0中 x x x的解组成的集合。
七、矩阵的秩及求解 A x = 0 Ax=0 Ax=0
阶梯矩阵及主元/*变量/矩阵秩的确定
矩阵秩的不等式：
- r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A+B)\le r(A)+r(B) r(A+B)≤r(A)+r(B)
- r ( A B ) ≤ r ( A ) , r ( B ) r(AB)\le r(A),r(B) r(AB)≤r(A),r(B)
- A s × n B n × t = O , 则 r ( A ) + r ( B ) ≤ n A_{s\times n}B_{n\times t}=O,则r(A)+r(B)\le n As×nBn×t=O,则r(A)+r(B)≤n
- r ( A s × n B n × t ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n r(A_{s\times n}B_{n\times t})\ge r(A)+r(B)-n r(As×nBn×t)≥r(A)+r(B)−n
-
设
M
=
(
A
C
O
B
)
,
则
r
(
M
)
≥
r
(
A
)
+
r
(
B
)
设M=\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix},则r(M)\ge r(A)+r(B)
设M=(AOCB),则r(M)≥r(A)+r(B)]
矩阵的满秩分解
矩阵满秩分解的另一种手算做法：将待分解矩阵 A A A变为最简阶梯型，将主元列提出来得到的矩阵是一个列满秩矩阵 B B B，再通过 A = B C A=BC A=BC,按照 C C C是 B B B每一列的线性组合系数来对照 A A A就可以得到 C C C
举例： 3 × 4 3 \times 4 3×4矩阵
A = [ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} A=⎣⎡1232462682810⎦⎤，求 A x = 0 Ax=0 Ax=0的特解：
找出主变量（pivot variable）：
A
=
[
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
]
消
元
→
[
1
‾
2
2
2
0
0
2
‾
4
0
0
0
0
]
=
U
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =U
A=⎣⎡1232462682810⎦⎤
消元⎣⎡100200220240⎦⎤=U
主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵 A A A的秩（rank）为2，即 r = 2 r=2 r=2。
主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为*列（free column）。
*列中的变量为*变量（free variable），*变量的个数为 n − r = 4 − 2 = 2 n-r=4-2=2 n−r=4−2=2。
通常，给*列变量赋值，去求主列变量的值。如，令
x
2
=
1
,
x
4
=
0
x_2=1, x_4=0
x2=1,x4=0求得特解
x
=
c
1
[
−
2
1
0
0
]
x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}
x=c1⎣⎢⎢⎡−2100⎦⎥⎥⎤；
再令
x
2
=
0
,
x
4
=
1
x_2=0, x_4=1
x2=0,x4=1求得特解
x
=
c
2
[
2
0
−
2
1
]
x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}
x=c2⎣⎢⎢⎡20−21⎦⎥⎥⎤。
该例还能进一步简化，即将 U U U矩阵化简为 R R R矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。
在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是
0
0
0：
U
=
[
1
‾
2
2
2
0
0
2
‾
4
0
0
0
0
]
化
简
→
[
1
‾
2
0
−
2
0
0
1
‾
2
0
0
0
0
]
=
R
U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} =R
U=⎣⎡100200220240⎦⎤
化简⎣⎡100200010−220⎦⎤=R
将 R R R矩阵中的主变量放在一起，*变量放在一起（列交换），得到
R = [ 1 ‾ 2 0 − 2 0 0 1 ‾ 2 0 0 0 0 ] 列 交 换 → [ 1 0 2 − 2 0 1 0 2 0 0 0 0 ] = [ E F 0 0 ] ，其中 E 为单位矩阵， F 为*变量组成的矩阵 R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{列交换} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]= \begin{bmatrix} E & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{，其中}E\textrm{为单位矩阵，}F\textrm{为*变量组成的矩阵} R=⎣⎡100200010−220⎦⎤ 列交换⎣⎡100010200−220⎦⎤=[E0F0]，其中E为单位矩阵，F为*变量组成的矩阵
计算零空间矩阵 N N N（nullspace matrix），其列为特解，有 R N = 0 RN=0 RN=0。
x p i v o t = − F x f r e e [ E F ] [ x p i v o t x f r e e ] = 0 N = [ − F E ] x_{pivot}=-Fx_{free} \\ \begin{bmatrix} E & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}=0 \\ N=\begin{bmatrix} -F \\ E \\ \end{bmatrix} xpivot=−Fxfree[EF][xpivotxfree]=0N=[−FE]
在本例中
N
=
[
−
2
2
0
−
2
1
0
0
1
]
N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
N=⎣⎢⎢⎡−20102−201⎦⎥⎥⎤，与上面求得的两个
x
x
x特解一致。
另一个例子，矩阵
A
=
[
1
2
3
2
4
6
2
6
8
2
8
10
]
消
元
→
[
1
2
3
0
2
2
0
0
0
0
0
0
]
化
简
→
[
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
]
=
R
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R
A=⎣⎢⎢⎡1222246836810⎦⎥⎥⎤
消元⎣⎢⎢⎡100022003200⎦⎥⎥⎤
化简⎣⎢⎢⎡100001001100⎦⎥⎥⎤=R
矩阵的秩仍为 r = 2 r=2 r=2，有 2 2 2个主变量， 1 1 1个*变量。
同上一例，取*变量为
x
3
=
1
x_3=1
x3=1，求得特解
x
=
c
[
−
1
−
1
1
]
x=c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}
x=c⎣⎡−1−11⎦⎤
八、求解 A x = b Ax=b Ax=b：可解性和解的结构
举例，同上一讲：
3
×
4
3 \times 4
3×4矩阵
A
=
[
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}
A=⎣⎡1232462682810⎦⎤，求
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的特解：
写出其增广矩阵（augmented matrix） [ A b ] \left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right] [Ab]：
[ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ] 消 元 → [ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ] \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array} \right] ⎣⎡1232462682810b1b2b3⎦⎤ 消元⎣⎡100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎦⎤
显然，有解的必要条件为 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3−b2−b1=0。
讨论 b b b满足什么条件才能让方程 A x = b Ax=b Ax=b有解（solvability condition on b）：当且仅当 b b b属于 A A A的列空间时。另一种描述：如果 A A A的各行线性组合得到 0 0 0行，则 b b b端分量做同样的线性组合，结果也为 0 0 0时，方程才有解。（联系后面的投影矩阵和最小二乘法，如果 b b b不在 A A A的列空间时，方程无解。但可以得到最优解，方法就是将目标向量强行投影到 A A A的列空间中，投影得到的向量记为 p p p，那么 A x ^ = p A\hat{x}=p Ax^=p必然有解，且此时解 x ^ \hat{x} x^是最优解）
解法：令所有*变量取
0
0
0，则有
{
x
1
+
2
x
3
=
1
2
x
3
=
3
\begin{cases}x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\& & 2x_3 & = & 3 \\\end{cases}
{x1+2x32x3==13，解得
{
x
1
=
−
2
x
3
=
3
2
\begin{cases}x_1 & = & -2 \\x_3 & = & \frac{3}{2} \\\end{cases}
{x1x3==−223，代入
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b求得特解
x
p
=
[
−
2
0
3
2
0
]
x_p=\begin{bmatrix}-2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0\end{bmatrix}
xp=⎣⎢⎢⎡−20230⎦⎥⎥⎤。
令
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b成立的所有解：
{
A
x
p
=
b
A
x
n
=
0
两
式
相
加
→
A
(
x
p
+
x
n
)
=
b
\begin{cases} A & x_p & = & b \\ A & x_n & = & 0 \\ \end{cases} \quad \underrightarrow{两式相加} \quad A(x_p+x_n)=b
{AAxpxn==b0
两式相加A(xp+xn)=b
即
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的解集为其特解加上零空间，对本例有：
即
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b的解集为其特解加上零空间，对本例有：
x
c
o
m
p
l
e
t
e
=
[
−
2
0
3
2
0
]
+
c
1
[
−
2
1
0
0
]
+
c
2
[
2
0
−
2
1
]
x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}
xcomplete=⎣⎢⎢⎡−20230⎦⎥⎥⎤+c1⎣⎢⎢⎡−2100⎦⎥⎥⎤+c2⎣⎢⎢⎡20−21⎦⎥⎥⎤
对于
m
×
n
m \times n
m×n矩阵
A
A
A，有矩阵
A
A
A的秩
r
≤
m
i
n
(
m
,
n
)
r \leq min(m, n)
r≤min(m,n)列满秩
r
=
n
r=n
r=n情况：
A
=
[
1
3
2
1
6
1
5
1
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix}
A=⎣⎢⎢⎡12653111⎦⎥⎥⎤
，
r
a
n
k
(
A
)
=
2
rank(A)=2
rank(A)=2，要使
A
x
=
b
,
b
≠
0
Ax=b, b \neq 0
Ax=b,b=0有非零解，
b
b
b必须取
A
A
A中各列的线性组合，此时
A
A
A的零空间中只有
0
0
0向量。
行满秩
r
=
m
r=m
r=m情况：
A
=
[
1
2
6
5
3
1
1
1
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}
A=[13216151]
，
r
a
n
k
(
A
)
=
2
rank(A)=2
rank(A)=2，
∀
b
∈
R
m
都
有
x
≠
0
的
解
\forall b \in R^m都有x \neq 0的解
∀b∈Rm都有x=0的解，因为此时
A
A
A的列空间为
R
m
R^m
Rm，
b
∈
R
m
b \in R^m
b∈Rm恒成立，组成
A
A
A的零空间的*变量有
n
−
r
n-r
n−r个。
行列满秩情况：
r
=
m
=
n
r=m=n
r=m=n，如
A
=
[
1
2
3
4
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
A=[1324]
，则
A
A
A最终可以化简为
R
=
E
R=E
R=E，其零空间只包含
0
0
0向量。
总结：
r = m = n r = n < m r = m < n r < m , r < n R = E R = [ E 0 ] R = [ E F ] R = [ E F 0 0 ] 1 s o l u t i o n 0 o r 1 s o l u t i o n ∞ s o l u t i o n 0 o r ∞ s o l u t i o n \begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=E&R=\begin{bmatrix}E\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}E&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}E&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array} r=m=nR=E1 solutionr=n<mR=[E0]0 or 1 solutionr=m<nR=[EF]∞ solutionr<m,r<nR=[E0F0]0 or ∞ solution
设线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b， R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r，则求解 A x = b Ax=b Ax=b的具体过程：
- 写出增广矩阵 B = [ A b ] B=\left[\begin{array}{c|c}A&b\end{array}\right] B=[Ab]
- 对增广矩阵 B B B实施初等行变换而化为行阶梯矩阵 C C C
- 若 R ( A ) < R ( C ) R(A)<R(C) R(A)<R(C)，则原方程无解（增扩 b b b后秩提高，证明 A A A的线性组合无法表示 b b b）；若 R ( A ) = R ( C ) = r R(A)=R(C)=r R(A)=R(C)=r，则方程组有解，继续进行
- 对行阶梯矩阵 B B B继续施行初等行变换而化为行最简阶梯矩阵 R R R
- 写出 R R R对应的方程组（回代），若 r = n r=n r=n，则原方程有唯一解；若 r < n r<n r<n，则原方程有无穷多解，先计算一个特解，再计算 R x = 0 Rx=0 Rx=0，得到基础解系，解可以有特解和基础解系表达
九、线性相关性、基、维数
极大线性无关组的求解和线性表示
v
1
,
v
2
,
⋯
,
v
n
v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_n
v1, v2, ⋯, vn是
m
×
n
m\times n
m×n矩阵
A
A
A的列向量：
如果 A A A零空间中有且仅有 0 0 0向量，则各向量线性无关， r a n k ( A ) = n rank(A)=n rank(A)=n。
如果存在非零向量 c c c使得 A c = 0 Ac=0 Ac=0，则存在线性相关向量， r a n k ( A ) < n rank(A)\lt n rank(A)<n。
向量空间 S S S中的一组基（basis），具有两个性质：
- 他们线性无关；
- 他们可以生成 S S S。
对于向量空间 R n \mathbb{R}^n Rn，如果 n n n个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 n n n个向量为该空间的一组基，而数字 n n n就是该空间的维数（dimension）。
举例：
A
=
[
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}
A=⎣⎡111212323111⎦⎤
，A的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以
r
a
n
k
(
A
)
=
2
=
主
元
存
在
的
列
数
=
列
空
间
维
数
rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数
rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数。
可以很容易的求得
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0的两个解，如
x
1
=
[
−
1
−
1
1
0
]
,
x
2
=
[
−
1
0
0
1
]
x_1= \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}
x1=⎣⎢⎢⎡−1−110⎦⎥⎥⎤,x2=⎣⎢⎢⎡−1001⎦⎥⎥⎤，根据前几讲，我们知道特解的个数就是*变量的个数，所以
n
−
r
a
n
k
(
A
)
=
2
=
自
由
变
量
存
在
的
列
数
=
零
空
间
维
数
n-rank(A)=2=*变量存在的列数=零空间维数
n−rank(A)=2=*变量存在的列数=零空间维数
我们得到：列空间维数 d i m C ( A ) = r a n k ( A ) dim C(A)=rank(A) dimC(A)=rank(A)，零空间维数 d i m N ( A ) = n − r a n k ( A ) dim N(A)=n-rank(A) dimN(A)=n−rank(A)
- 对于方阵,矩阵满秩就是 r a n k ( a ) = n rank(a)=n rank(a)=n,所有行向量和列向量线性无关
- 如果矩阵的秩等于行数,则矩阵是行满秩矩阵,行向量组线性无关(但不保证列向量组线性无关)
- 如果矩阵的秩等于列数,则矩阵是列满秩矩阵,列向量组线性无关(但不保证行向量组线性无关)
证明线性无关的步骤包括：
- 假设有一组 k i k_i ki使得所求向量的线性组合为 0 0 0
- 将式子变成已知条件的样子，往条件方向靠
-
Q
.
E
.
D
.
Q.E.D.
Q.E.D.
证明线性无关的例题
十、四个基本子空间
- 对于 m × n m \times n m×n矩阵 A A A， r a n k ( A ) = r rank(A)=r rank(A)=r有：
-
行空间 C ( A T ) ∈ R n , d i m C ( A T ) = r C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r C(AT)∈Rn,dimC(AT)=r，基见例1。
-
零空间 N ( A ) ∈ R n , d i m N ( A ) = n − r N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r N(A)∈Rn,dimN(A)=n−r，*元所在的列即可组成零空间的一组基。
-
列空间 C ( A ) ∈ R m , d i m C ( A ) = r C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r C(A)∈Rm,dimC(A)=r，主元所在的列即可组成列空间的一组基。
-
左零空间 N ( A T ) ∈ R m , d i m N ( A T ) = m − r N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r N(AT)∈Rm,dimN(AT)=m−r，基见例2。
例1，对于行空间
A
=
[
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
]
消
元
、
化
简
→
[
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
]
=
R
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R
A=⎣⎡111212323111⎦⎤
消元、化简⎣⎡100010110100⎦⎤=R
由于我们做了行变换，所以 A A A的列空间受到影响， C ( R ) ≠ C ( A ) C(R) \neq C(A) C(R)=C(A)，而行变换并不影响行空间，所以可以在 R R R中看出前两行就是行空间的一组基。
所以，可以得出无论对于矩阵 A A A还是 R R R，其行空间的一组基，可以由 R R R矩阵的前 r r r行向量组成（这里的 R R R就是第七讲提到的简化行阶梯形式）。
例2，对于左零空间，有 A T y = 0 → ( A T y ) T = 0 T → y T A = 0 T A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T ATy=0→(ATy)T=0T→yTA=0T，因此得名。
采用Gauss-Jordan消元，将增广矩阵 [ A m × n E m × m ] \left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] [Am×nEm×m]中 A A A的部分化为简化行阶梯形式 [ R m × n E m × m ] \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] [Rm×nEm×m]，此时矩阵 E E E会将所有的行变换记录下来。
则 E A = R EA=R EA=R，而在前几讲中，有当 A ′ A' A′是 m m m阶可逆方阵时， R ′ R' R′即是 E E E，所以 E E E就是 A − 1 A^{-1} A−1。
本例中
[ A m × n E m × m ] = [ 1 2 3 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 0 1 ] 消 元 、 化 简 → [ 1 0 1 1 − 1 2 0 0 1 1 0 1 − 1 0 0 0 0 0 − 1 0 1 ] = [ R m × n E m × m ] \left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]= \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元、化简} \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] [Am×nEm×m]=⎣⎡111212323111100010001⎦⎤ 消元、化简⎣⎡100010110100−11−12−10001⎦⎤=[Rm×nEm×m]
则
E A = [ − 1 2 0 1 − 1 0 − 1 0 1 ] ⋅ [ 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ] = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ] = R EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R EA=⎣⎡−11−12−10001⎦⎤⋅⎣⎡111212323111⎦⎤=⎣⎡100010110100⎦⎤=R
很明显，式中 E E E的最后一行对 A A A的行做线性组合后，得到 R R R的最后一行，即 0 0 0向量，也就是 y T A = 0 T y^TA=0^T yTA=0T。
最后，引入矩阵空间的概念，矩阵可以同向量一样，做求和、数乘。
举例，设所有 3 × 3 3 \times 3 3×3矩阵组成的矩阵空间为 M M M。则上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵（前两者的交集）。
观察一下对角矩阵，如果取
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
1
0
0
0
3
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
0
0
0
0
7
]
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix}
⎣⎡100000000⎦⎤⎣⎡100030000⎦⎤⎣⎡000000007⎦⎤
，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。