传纸条

2023-11-18 10:31:10

我写了一个四维dp和一个三维dp，差别非常明显。

先看题目——

洛谷P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 [0,100] 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【限制】

对于 30% 的数据， 1≤m,n≤10；
对于 100% 的数据满足：1≤m,n≤50。

【来源】

NOIP 2008 提高组第三题

这道题的思路是两张纸条分开走，不能相遇，虽然一张纸条来，一张纸条回，但这也可以看做两张纸条都来，它们都只能向右或向下走，而且不向右就是向下走，所以它们只要在同一时间向右的距离相等，向下的距离也一定相等，即相遇，其他的地方都比较简单，就是纸1、纸2向下向右共四种情况判断最大。

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n;
int a[60][60];
int f[60][60][60][60]; 
int dp(int i,int j,int k,int l){
    if(f[i][j][k][l]>0) return f[i][j][k][l];
    if(i>m||j>n||k>m||l>n) return 0;
    if(i==k&&j==l&&(i!=1||j!=1)&&(i!=n||j!=n)) return 0;
    return f[i][j][k][l]=max(max(dp(i+1,j,k+1,l),dp(i+1,j,k,l+1)),max(dp(i,j+1,k+1,l),dp(i,j+1,k,l+1)))+a[i][j]+a[k][l];
}
int main(){
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<dp(1,1,1,1);
    return 0;
}

这时，我回想当时的思路，发现纸1和纸2向下和向右的距离加和一样，也就是说一个三维dp就足够了。

#include<iostream>
using namespace std;
int m,n;
int a[60][60];
int f[110][60][60]; 
int dp(int k,int i,int j){
    if(f[k][i][j]>0) return f[k][i][j];
    if(i>=n||j>=n||k-i>=m||k-j>=m) return 0;
    if(i==j&&k!=0&&k!=m+n-2) return 0;
    return f[k][i][j]=max(max(dp(k+1,i+1,j),dp(k+1,i+1,j+1)),max(dp(k+1,i,j+1),dp(k+1,i,j)))+a[k-i][i]+a[k-j][j];
}
int main(){
    cin>>m>>n;
    for(int i=0;i<=m-1;i++){
        for(int j=0;j<=n-1;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<<dp(0,0,0);
    return 0;
}

比较

四维：127ms / 28.09MB / 521B

三维：45ms / 1.34MB / 491B

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