Optimal Insertion
题解
怎么一群人都可以在考场上切这道题呀
首先，我们观察到一个性质，我们最终得到的序列
c
c
c中，来自
b
b
b的元素的顺序一定是升序的，即权值不递减。
显然，对于
b
i
>
b
j
b_{i}>b_{j}
bi>bj，
b
i
b_{i}
bi的最优决策点一定不会在
b
j
b_{j}
bj的左边，该性质在我们下面的转移过程中可以见得。
我们考虑加入
b
i
b_{i}
bi时，将
b
i
b_{i}
bi插入在
a
j
a_{j}
aj后面时会贡献的逆序对数
c
o
s
t
j
=
∑
k
=
1
j
[
a
k
>
b
i
]
+
∑
k
=
j
+
1
n
[
a
k
<
b
i
]
cost_{j}=\sum_{k=1}^{j}[a_{k}>b_{i}]+\sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}]
costj=∑k=1j[ak>bi]+∑k=j+1n[ak<bi]。
显然，我们在
b
i
b_{i}
bi变大的过程中，
∑
k
=
j
+
1
n
[
a
k
<
b
i
]
\sum_{k=j+1}^{n}[a_{k}<b_{i}]
∑k=j+1n[ak<bi]会不断变大，
∑
k
=
1
j
[
a
k
>
b
i
]
\sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i]
∑k=1j[ak>bi]会不断变小。
而由于
c
o
s
t
j
−
1
cost_{j-1}
costj−1肯定包含
c
o
s
t
j
cost_{j}
costj的
∑
k
=
j
+
1
n
[
a
k
<
b
i
]
\sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i]
∑k=j+1n[ak<bi]，所以
c
o
s
t
j
−
1
cost_{j-1}
costj−1的
∑
k
=
j
+
1
n
[
a
k
<
b
i
]
\sum_{k=j+1}^{n}[a_k<b_i]
∑k=j+1n[ak<bi]部分增加速度肯定快于
c
o
s
t
j
cost_{j}
costj。
同理，
c
o
s
t
j
−
1
cost_{j-1}
costj−1的
∑
k
=
1
j
[
a
k
>
b
i
]
\sum_{k=1}^{j}[a_k>b_i]
∑k=1j[ak>bi]部分的减小速度也一定慢于
c
o
s
t
j
cost_{j}
costj。
故
c
o
s
t
j
cost_{j}
costj的增长速度是慢于
c
o
s
t
j
−
1
cost_{j-1}
costj−1，所以我们的最优决策点是不断右移的。
很显然，我们可以用双指针加线段树维护我们的
c
o
s
t
cost
cost值的变化，对于每个
b
i
b_{i}
bi都加上最小的
c
o
s
t
cost
cost即可。
时间复杂度
O
(
n
log
n
)
O\left(n\log\,n\right)
O(nlogn)。
注意维护原来
a
a
a序列的逆序对数。
源码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=10000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-5;
typedef pair<LL,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
_T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,m,b[MAXN],T,tr[MAXN<<2],lzy[MAXN<<2],sum[MAXN];pii a[MAXN];LL ans;
void build(int rt,int l,int r){
lzy[rt]=tr[rt]=0;if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;
build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);
tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void pushdown(int rt){
if(!lzy[rt])return ;
tr[lson]+=lzy[rt];lzy[lson]+=lzy[rt];
tr[rson]+=lzy[rt];lzy[rson]+=lzy[rt];
lzy[rt]=0;
}
void modify(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){
if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;
if(al<=l&&r<=ar){tr[rt]+=aw;lzy[rt]+=aw;return ;}
int mid=l+r>>1;pushdown(rt);
if(al<=mid)modify(lson,l,mid,al,ar,aw);
if(ar>mid)modify(rson,mid+1,r,al,ar,aw);
tr[rt]=min(tr[lson],tr[rson]);
}
void insert(int pos){while(pos)sum[pos]++,pos-=lowbit(pos);}
int query(int pos){int res=0;while(pos<=n)res+=sum[pos],pos+=lowbit(pos);return res;}
signed main(){
read(T);
while(T--){
read(n);read(m);ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i].fir),a[i].sec=i;
for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);
sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+m+1);build(1,0,n);
for(int i=1;i<=n;i++)modify(1,0,n,i,n,1);
for(int i=1,j=1,k=1;i<=m;i++){
for(;a[k].fir<=b[i]&&k<=n;k++)modify(1,0,n,a[k].sec,n,-1);
for(;a[j].fir<b[i]&&j<=n;j++)modify(1,0,n,0,a[j].sec-1,1);
ans+=1ll*tr[1];
}
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=0;
for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
while(a[j].fir<a[i].fir)insert(a[j].sec),j++;
ans+=1ll*query(a[i].sec);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}