矩阵的迹

定义

\(A\)的迹定义为它的对角元素之和，即 tr\((A)\equiv \sum_iA_{ii}\)

迹的性质

如果\(A\)和\(B\)是两个线性算子，\(z\) 是任意复数，

• 迹的循环性质

  tr\((AB)\) = tr\((BA).\)

• 迹的线性性质

  • tr\((A+B)\) = tr\((A)\) + tr\((B)\)
  • tr\((zA)=z\)tr\((A)\)

重要结论

• \(U\)是酉算子，tr\((UAU^\dagger)=\)tr\((U^\dagger UA)=\)tr\((IA)=\)tr\((A)\), 迹在酉相似变换下保持不变.

• tr\((A|\psi\rang\lang\psi|)=\) tr\((\lang\psi|A|\psi\rang)=\lang\psi|A|\psi\rang\)