Happy Necklace
前天个人赛规律都找出来了，n的范围是\(10^{18}\)，我一想GG，肯定是矩阵快速幂，然后就放弃了。
昨天学了一下矩阵快速幂。
题意
现在小Q要为他的女朋友一个有n个宝石的好的项链（直线），定义好的项链为：如果任意素数长的子串中蓝宝石的数量不小于红宝石的数量就是好的。小Q可以买多少种好的项链呢？
思路
n这么大，绝对是规律题。
先简单分析一下，其实对于好项链的定义可以化简为任意长度为3的子串中至少有两个蓝宝石，然后打表。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[100],pre[100];
int check(int cnt)
{
for(int i =1; i<=cnt; i++)
{
pre[i]=pre[i-1]+(arr[i]==1);
if(i>=3&&(pre[i]-pre[i-3])<2)
return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
for(int i=3; i<=20; i++)
{
int ans=0;
for(int j=0; j<(1<<i); j++)
{
for(int k=1; k<=i; k++)
arr[k]=0;
int tmp=j,cnt=0;
while(tmp)
{
arr[++cnt]=tmp%2;
tmp/=2;
}
if(check(i))
ans++;
}
printf("%d %d\n",i,ans);
}
return 0;
}
3 4
4 6
5 9
6 13
7 19
8 28
9 41
10 60
11 88
12 129
13 189
14 277
15 406
16 595
17 872
18 1278
19 1873
20 2745
可以发现a[i]=a[i-1]+a[i-3]
矩阵构造如下：
\(\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{matrix}\right]*\left[\begin{matrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\\a_{n-3}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{n-1}+a_{n-3} \\a_{n-1}\\a_{n-2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{n} \\a_{n-1}\\a_{n-2}\end{matrix}\right]\)
现在可以知道三个初始值a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3
称最左边的矩阵为关系矩阵A，那么
\[\left[\begin{matrix}a_{n}\\a_{n-1}\\a_{n-2}\end{matrix}\right]=A^{n-2}*\left[\begin{matrix}3\\2\\1\end{matrix}\right]
\]
代码
//#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<map>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-14;
struct Matrix
{
ll mat[3][3];
};
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix res;
memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
for(ll i=0; i<3; i++)
{
for(ll j=0; j<3; j++)
{
for(ll k=0; k<3; k++)
{
res.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
res.mat[i][j]%=mod;
}
}
}
return res;
}
Matrix qpow(Matrix a,ll b)
{
Matrix ans;
memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
for(ll i=0; i<3; i++) ans.mat[i][i]=1;//单位矩阵
while(b)
{
if(b&1)
ans=multi(ans,a);
b>>=1;
a=multi(a,a);
}
return ans;
}
int main()
{
Matrix base;
memset(base.mat,0,sizeof(base.mat));
base.mat[0][0]=base.mat[0][2]=base.mat[1][0]=base.mat[2][1]=1;
ll T;
scanf("%lld",&T);
while(T--)
{
ll n;
scanf("%lld",&n);
if(n==2) printf("3\n");
else if(n==3) printf("4\n");
else
{
Matrix now=qpow(base,n-2);
printf("%lld\n",(now.mat[0][0]*3%mod+now.mat[0][1]*2%mod+now.mat[0][2])%mod);
}
}
return 0;
}