微软面试题之一，难度系数中，题目描述如下：

求二叉树中节点的最大距离... 
如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的， 
我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。 
写一个程序， 
求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。 
 

逻辑分析：

1、看到这道题的时候，很容易产生一种错觉，这题不就是求二叉树高度吗。。。显然，出题人不是小白，所以这里面一定有文章，继而注意到“双向”，玄机也正在此处。两张图说明一切，不解释。

2、题意清楚了，下一步就是分析如何去做，我们都知道，但凡是树的题目，一般都要考虑递归解。而针对这道题，我们通过分析可以得到几个比较显眼的结论：最长的路径一定包含叶子；最长的路径有两种情况，含有根节点，从左子树最深节点，到右子树最深节点，或者是不含根节点，而是左子树或者右子树的最长路径，递归而下，也就是上图的A，B。

3、总结上述说法，即是相距最远的两个节点，一定是两个叶子节点，或者一个叶子节点到根节点。对于任意一个节点，以该节点为根R，假设该节点有k个孩子节点，那么相距最远的两个节点U，V要么经过R（U、V也就是不同子树上的最深节点），要么不经过R，而是根的某一棵子树，且U、V一定也是子树的左右子树最深节点。

4、显然，我们自上而下的，采用类似深度遍历的方法递归下去，而又采用自底向上的动态规划思想，加以解决。

设第K棵子树中最远的两个节点Uk和Vk，其距离定义为d(Uk,Vk)，那么节点Uk或Vk即为子树K到根节点Rk距离最长的节点。不失一般性，我们设Uk为子树K中到根节点Rk距离最长的节点，其到根节点的距离定义为d(Uk,R)。取d(Ui,R)(1<=i<=k)中最大的两个值max1和max2，那么经过根节点R的最长路径为max1+max2+2，所以树R中相距最远的两个点的距离为：max{d(U1,V1),…, d(Uk,Vk),max1+max2+2}。而采用深度遍历的模型，我们知道，每一个节点都只遍历一次，且所有节点都需要经过遍历，那么时间复杂度为O(|E|)=O(|V|-1)，其中V为点的集合，E为边的集合。

下面给出编程之美上的代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct NODE
{
    NODE *pLeft;
    NODE *pRight;
    int nMaxLeft;
    int nMaxRight;
    char chValue;
};

int nMaxLen = 0;

void FindMaxLen(NODE* root)
{
	//递归结束
    if(root==NULL)    return;
    
    //左树为空
    if(root->pLeft==NULL)
        root->nMaxLeft=0;
	
    //右树为空
    if(root->pRight==NULL)
        root->pRight=0;
	
    //左树不为空
    if(root->pLeft!=NULL)
    {
        FindMaxLen(root->pLeft);
    }
	
    //右树不为空
    if(root->pRight!=NULL)
    {
        FindMaxLen(root->pRight);
    }
	
    //求左子树最大距离
    if(root->pLeft!=NULL)
    {
        int nTempMax=0;
        if(root->pLeft->nMaxLeft>root->pLeft->nMaxRight)
            nTempMax=root->pLeft->nMaxLeft;
        else
            nTempMax=root->pLeft->nMaxRight;
        root->nMaxLeft=nTempMax+1;
    }
	
    //求右子树最大距离
    if(root->pRight!=NULL)
    {
        int nTempMax=0;
        if(root->pRight->nMaxLeft>root->pRight->nMaxRight)
            nTempMax=root->pRight->nMaxLeft;
        else
            nTempMax=root->pRight->nMaxRight;
        root->nMaxRight=nTempMax+1;
    }
	
    //更新最大距离
    if(root->nMaxLeft+root->nMaxRight>nMaxLen)
        nMaxLen=root->nMaxLeft+root->nMaxRight;
}

NODE* InitTree()
{
    NODE* tree[10];
    
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        tree[i]=(NODE*)malloc(sizeof(NODE));
        tree[i]->nMaxLeft=0;
        tree[i]->nMaxRight=0;
        tree[i]->pLeft=NULL;
        tree[i]->pRight=NULL;
        tree[i]->chValue=(char)i;
    }
    for(i=0;i<=2;i++)
    {
        tree[i]->pLeft=tree[2*i+1];
        tree[i]->pRight=tree[2*i+2];
    }
    tree[3]->pLeft=tree[7];
    tree[5]->pRight=tree[8];
    return tree[0];
}

int main()
{
	FindMaxLen(InitTree());
	printf("%d\n",nMaxLen);
    return 0;
}

5、很明显，nMaxLeft和nMaxRight在完成我们DP的记账本同时，破坏了二叉树的结构，这将给后者的应用性带来非常大的负担，逻辑上相对复杂，Milo给出了更为简洁的，DP版本。

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
struct NODE
{
    NODE *pLeft;
    NODE *pRight;
};
 
struct RESULT
{
    int nMaxDistance;
    int nMaxDepth;
};
 
RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
{
    if (!root)
    {
        RESULT empty = { 0, -1 };   // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
        return empty;
    }
 
    RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
    RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
 
    RESULT result;
    result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
    result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
    return result;
}

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
{
    if (left != -1)
        nodes[parent].pLeft = &nodes[left]; 
 
    if (right != -1)
        nodes[parent].pRight = &nodes[right];
}
 
void main()
{
    // P. 241 Graph 3-12
    NODE test1[9] = { 0 };
    Link(test1, 0, 1, 2);
    Link(test1, 1, 3, 4);
    Link(test1, 2, 5, 6);
    Link(test1, 3, 7, -1);
    Link(test1, 5, -1, 8);
    cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
 
    // P. 242 Graph 3-13 left
    NODE test2[4] = { 0 };
    Link(test2, 0, 1, 2);
    Link(test2, 1, 3, -1);
    cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
 
    // P. 242 Graph 3-13 right
    NODE test3[9] = { 0 };
    Link(test3, 0, -1, 1);
    Link(test3, 1, 2, 3);
    Link(test3, 2, 4, -1);
    Link(test3, 3, 5, 6);
    Link(test3, 4, 7, -1);
    Link(test3, 5, -1, 8);
    cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
 
    // P. 242 Graph 3-14
    // Same as Graph 3-2, not test
 
    // P. 243 Graph 3-15
    NODE test4[9] = { 0 };
    Link(test4, 0, 1, 2);
    Link(test4, 1, 3, 4);
    Link(test4, 3, 5, 6);
    Link(test4, 5, 7, -1);
    Link(test4, 6, -1, 8);
    cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
}

二叉树中节点的最大距离