[题解] LuoguP5443 [APIO2019]桥梁

https://www.luogu.com.cn/problem/P5443

Solution

有一个显然的暴力,对于一个询问直接枚举\(m\)条边,如果边权\(\ge w\)就在并查集中合并。
答案就是\(s\)所在连通块的大小。对于修改,直接更改边的权值即可。

如果没有修改的话还可以将操作离线,排序后不断向并查集中加边。

注意到有些边并不会被修改,得到一个不怎么暴力的暴力

将没有被修改的边单独拉出来,同时将所有询问以及这些边按\(w\)从大到小排序,像上面那样对于一个询问不断向并查集中加入这类边。

对于会被修改的边,暴力算这条边现在的边权,判断是否会被加入并查集。

处理完一个询问后撤销第二类边即可。

需要可撤销并查集,并不能路径压缩,可以启发式合并,一次合并变成\(\log n\)

粗略的估计一下复杂度为\(O(Q \log Q+m \log m + Q^2 \log n)\)

发现这样我们暴力了所有可能会被修改的边,考虑过一段时间将边权都存下来。

即对操作分块,令每\(B\)个操作为一块。

对一个块,保存好在这之前所有边的边权。

然后块内的修改以及查询做上述暴力。

复杂度\(O(\frac{Q}{B}(B \log B + m \log m + B^2 \log n))\)

大概是\(O(Q \log B + \frac{Qm \log m}{B} + QB \log n)\)

\(B = \sqrt{m \log m}\)\(1000\)左右的样子

然后注意卡卡常(

真就人傻常数大呗

Code

https://paste.ubuntu.com/p/2XzGvrmNfR/

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