前言
应用角度
利用单调性比较大小
分析:注意到\(a,b,c\)的结构,由题目猜想:要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\),
那么是否正确,以下做以验证。
令\(0< x_1< x_2\),则由单调性定义的等价形式可得,
\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)
由题目,对任意两个不相等的正数\(x_1,x_2\),都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0\),
则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0\),即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的,
故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\),\(g(0.3^2)\),\(g(log_25)\)这三个的大小关系,
只需要比较自变量的大小就可以了;
由于\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\),\(0 < 0.3^2=0.09 <1\),\(log_25 > log_24=2\),
故\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\),即\(b < a < c\)。故选\(B\).
分析:要顺利解答本题目,需要先将原不等式作等价转化,\(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}\),
这样我们就能看到上述不等式的两端,是同结构的,故想到构造函数,
解析:令\(f(t)=2^t-3^{-t}\),则\(t\in R\),且\(f(t)\)在\(t\in R\)上单调递增\(y\)\(=\)\(2^t\)为增函数,\(y\)\(=\)\(-3^{-t}\)为增函数,增+增=增,故\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)\(-\)\(3^{-t}\)为增函数。单调性的给出方式,
故原不等式等价于\(f(x)<f(y)\),由\(f(t)\)单调递增,得到\(x<y\),
故\(y-x>0\),\(y-x+1>1\),则\(ln(y-x+1)>0\);故选\(A\);
解析:因为 \(2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2}b\),
又由于 \(2^{2b}+\log_{2}b<2^{2b}+\log_{2}2b=2^{2b}+\log_{2}b+1\),
故 \(2^{a}+\log_{2}a<2^{2b}+\log_{2}2b\),
此时令 \(f(x)=2^{x}+\log_{2}x\), 则上述条件变化为 \(f(a)<f(2b)\)这样就能利用新构造的函数的性质比较大小,此时主要用到定义域和单调性。\(\quad\),
由指对数函数的单调性可得 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 内单调递增,且 \(f(a)<f(2b)\),
则得到 \(a<2b\),故选:\(B\) .
利用单调性求解不等式
分析:函数的定义域为\((0,+\infty)\),且在定义域上单调递增,故由\(f(x^2-4)<f(1)\),
得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}<x<-2\)或\(2<x<\sqrt{5}\),
故填写\((-\sqrt{5},2)\cup(2,\sqrt{5})\)。
分析:我们先用整体思想将需要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体,这样原不等式就变形为\(f(t)>3t+1\),
此时我们用\(左-右\),做差构造新函数。【为什么这样构造?带着问题继续往下看】
令\(g(x)=f(x)-3x-1\),于是\(g‘(x)=f‘(x)-3\),由已知条件\(f‘(x)<3\),则可知\(g‘(x)<0\),
这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性,即函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减,
又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\),
到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质,在\(R\)上单调递减,且有唯一的零点为\(x=1\),
故由\(g(x)>0\)可以得到解为\(x<1\),由\(g(x)<0=g(1)\)可以得到解为\(x>1\),
现在\(f(lnx)>3lnx+1\)等价于\(g(lnx)>0\),故得到\(lnx<1\),
解得\(0<x<e\),故解集为\((0,e)\)。
解后反思:本题目涉及构造函数的方法,是个难题;为什么这样的题目比较难?原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题,而本题目需要我们主动构造函数,在数学的应用意识上有相当高的要求;在上例中我们发现,只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造,那么我们自然就会问:
利用单调性求参数的取值范围
分析:由题目可知,\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\);即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)
解得:\(a\in[\cfrac{9}{4},3)\);
反思:1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制;学生常认为函数在两段上分别单调递增,则在整体定义域\(R\)上一定单调递增,这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。
2、防错秘籍:既要保证每段上的单调性,还要保证转折点处的单调性。
考点:数列的单调性,分段函数,数列与分段函数的交汇
分析:由题目可知,\(\begin{cases} 3-a>0,\\ a>1,\\ (3-a)7-3<a^{8-6},\end{cases}\),解得:\(a\in(2,3)\)
感悟反思:1、本题目和上例非常类似,但是又不一样,原因是数列是特殊的函数,所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样,而且不能取等号。
2、如果是一般的函数\(f(x)\),则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系;现在是分段数列,那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系;