函数单调性的应用

前言

应用角度

利用单调性比较大小

【构造函数+大小比较】【2017\(\cdot\)河南平顶山一模】已知\(f(x)\)是定义在\((0,+\infty)\)上的函数,对任意两个不相等的正数\(x_1,x_2\),都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\),记\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\),则【】

$A.a

分析:注意到\(a,b,c\)的结构,由题目猜想:要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)

那么是否正确,以下做以验证。

\(0< x_1< x_2\),则由单调性定义的等价形式可得,

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由题目,对任意两个不相等的正数\(x_1,x_2\),都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2} >0\)

则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2} >0\),即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的,

故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)\(g(0.3^2)\)\(g(log_25)\)这三个的大小关系,

只需要比较自变量的大小就可以了;

由于\(1=3^0 < 3^{0.2} < 3^{0.5}=\sqrt{3} <2\)\(0 < 0.3^2=0.09 <1\)\(log_25 > log_24=2\)

\(g(0.3^2) < g(3^{0.2}) < g(log_25)\),即\(b < a < c\)。故选\(B\).

【2020年全国卷Ⅱ卷理数第11题文数第12题】若\(2^x-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}\),则【\(\quad\)

$A.\ln (y-x+1)>0$ $B.\ln (y-x+1)0$ $D.\ln|x-y|

分析:要顺利解答本题目,需要先将原不等式作等价转化,\(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}\)

这样我们就能看到上述不等式的两端,是同结构的,故想到构造函数

解析:令\(f(t)=2^t-3^{-t}\),则\(t\in R\),且\(f(t)\)\(t\in R\)单调递增\(y\)\(=\)\(2^t\)为增函数,\(y\)\(=\)\(-3^{-t}\)为增函数,增+增=增,故\(f(t)\)\(=\)\(2^t\)\(-\)\(3^{-t}\)为增函数。单调性的给出方式

故原不等式等价于\(f(x)<f(y)\),由\(f(t)\)单调递增,得到\(x<y\)

\(y-x>0\)\(y-x+1>1\),则\(ln(y-x+1)>0\);故选\(A\)

【2020年新课标Ⅰ理科数学第\(12\)题】【上例的延申题】 若 \(2^{a}+\log_{2}a=4^{b}+2\log_{4}b\), 则 【\(\quad\)

$A.a > 2b$ $B.a b^2$ $D.a

解析:因为 \(2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2}b\)

又由于 \(2^{2b}+\log_{2}b<2^{2b}+\log_{2}2b=2^{2b}+\log_{2}b+1\)

\(2^{a}+\log_{2}a<2^{2b}+\log_{2}2b\)

此时令 \(f(x)=2^{x}+\log_{2}x\), 则上述条件变化为 \(f(a)<f(2b)\)这样就能利用新构造的函数的性质比较大小,此时主要用到定义域和单调性。\(\quad\)

由指对数函数的单调性可得 \(f(x)\)\((0,+\infty)\) 内单调递增,且 \(f(a)<f(2b)\)

则得到 \(a<2b\),故选:\(B\) .

利用单调性求解不等式

【2020\(\cdot\)高三文科练习】【具体函数】已知函数\(f(x)=lnx+2^x\),若\(f(x^2-4)<f(1)\),则实数\(x\)的取值范围是______。

分析:函数的定义域为\((0,+\infty)\),且在定义域上单调递增,故由\(f(x^2-4)<f(1)\)

得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}<x<-2\)\(2<x<\sqrt{5}\)

故填写\((-\sqrt{5},2)\cup(2,\sqrt{5})\)

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】【抽象函数】已知定义在实数集\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(1)=4\),且\(f(x)\)的导函数\(f‘(x)<3\),则不等式\(f(lnx)>3lnx+1\)的解集为______。

分析:我们先用整体思想将需要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体,这样原不等式就变形为\(f(t)>3t+1\)

此时我们用\(左-右\),做差构造新函数。【为什么这样构造?带着问题继续往下看】

\(g(x)=f(x)-3x-1\),于是\(g‘(x)=f‘(x)-3\),由已知条件\(f‘(x)<3\),则可知\(g‘(x)<0\)

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性,即函数\(g(x)\)\(R\)上单调递减,

\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质,在\(R\)上单调递减,且有唯一的零点为\(x=1\)

故由\(g(x)>0\)可以得到解为\(x<1\),由\(g(x)<0=g(1)\)可以得到解为\(x>1\)

现在\(f(lnx)>3lnx+1\)等价于\(g(lnx)>0\),故得到\(lnx<1\)

解得\(0<x<e\),故解集为\((0,e)\)

解后反思:本题目涉及构造函数的方法,是个难题;为什么这样的题目比较难?原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题,而本题目需要我们主动构造函数,在数学的应用意识上有相当高的要求;在上例中我们发现,只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造,那么我们自然就会问:

利用单调性求参数的取值范围

已知\(a>0\),函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\),函数\(f(x)\)\(R\)上单调递增,求\(a\)的取值范围。

分析:由题目可知,\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\);即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得:\(a\in[\cfrac{9}{4},3)\)

反思:1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制;学生常认为函数在两段上分别单调递增,则在整体定义域\(R\)上一定单调递增,这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍:既要保证每段上的单调性,还要保证转折点处的单调性。

已知\(a>0\),数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n = \begin{cases} &(3-a)n-3 &n\leq 7 \\ &a^{n-6} &n>7 \end{cases}\),数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列,求\(a\)的取值范围。

考点:数列的单调性,分段函数,数列与分段函数的交汇

分析:由题目可知,\(\begin{cases} 3-a>0,\\ a>1,\\ (3-a)7-3<a^{8-6},\end{cases}\),解得:\(a\in(2,3)\)

感悟反思:1、本题目和上例非常类似,但是又不一样,原因是数列是特殊的函数,所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样,而且不能取等号。

2、如果是一般的函数\(f(x)\),则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系;现在是分段数列,那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系;

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