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一、简介
1.概述
支持向量机（SVM，也称为支持向量网络），支持向量机（support vector machines）是一种二分类模型，监督式学习 (Supervised Learning)的方法，主要用在统计分类 (Classification)问题和回归分析 (Regression)问题上。它的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，分割的原则是间隔最大化，最终转化为一个凸二次规划问题来求解。是机器学习中获得关注最多的算法没有之一。
2.基于最大间隔分割数据
线性可分：可以很容易就在数据中给出一条直线将两组数据点分开
分隔超平面：将数据集分割开来的直线。数据点在二维平面上，分隔超平面就只是一条直线，但数据集是三维时，那么分隔超平面就是一个平面。依此类推，如果数据集是 N ( N ≥ 2 N(N\geq2 N(N≥2)维时，那么就需要一个 N − 1 N-1 N−1维的对象来分隔数据。该对象被称为超平面，也就是分类的决策边界。理想状态是分布在超平面一侧的所有数据都属于某个类别，而分布在另一侧的所有数据则属于另一个类别。
间隔：离分隔超平面最近的点，到分隔面的距离。间隔应该尽可能地大，这是因为如果我们犯错或者在有限数据上训练分类器的话，大的间隔可以增加分类器的鲁棒性。
支持向量：离分隔超平面最近的那些点。支持向量到分割面的距离应该最大化。
3.最大间隔
对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。
分隔超平面的形式为：
点A到分隔超平面的法线长度：
最大化间隔的目标就是找出分类器定义中的w和b。为此，我们必须找到具有最小间隔的数据点，而这些数据点也就是前面提到的支持向量。一旦找到具有最小间隔的数据点，我们就需要对该间隔最大化。这就可以写作：
直接求解上述问题相当困难，所以我们将它转换成为另一种更容易求解的形式。
约束条件为：
其中常数C 用于控制 “最大化间隔” 和 “保证大部分点的函数间隔小于1.0” 这两个目标的权重。在优化算法的实现代码中，常数C 是一个参数，因此可以通过调节该参数得到不同的结果。一旦求出了所有的 α，那么分隔超平面就可以通过这些 α 来表达。
二、实验操作
1.简化版SMO算法
简化版SMO算法，省略了确定要优化的最佳 α 对的步骤，而是首先在数据集上进行遍历每一个 α ，再在剩余的数据集中找到另外一个 α ，构成要优化的 α 对，同时对其进行优化，这里的同时是要确保公式：
所以改变一个 α 显然会导致等式失效，所以这里需要同时改变两个 α 。
代码如下：
from time import sleep
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
import types
"""
函数说明:读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
def loadDataSet(fileName):
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2])) #添加标签
return dataMat,labelMat
"""
函数说明:随机选择alpha
Parameters:
i - alpha
m - alpha参数个数
Returns:
j -
"""
def selectJrand(i, m):
j = i #选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
"""
函数说明:修剪alpha
Parameters:
aj - alpha值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - alpah值
"""
def clipAlpha(aj,H,L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
"""
函数说明:简化版SMO算法
Parameters:
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
Returns:
无
"""
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
#转换为numpy的mat存储
dataMatrix = np.mat(dataMatIn); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
#初始化b参数，统计dataMatrix的维度
b = 0; m,n = np.shape(dataMatrix)
#初始化alpha参数，设为0
alphas = np.mat(np.zeros((m,1)))
#初始化迭代次数
iter_num = 0
#最多迭代matIter次
while (iter_num < maxIter):
alphaPairsChanged = 0
for i in range(m):
#步骤1：计算误差Ei
fXi = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
Ei = fXi - float(labelMat[i])
#优化alpha，更设定一定的容错率。
if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
#随机选择另一个与alpha_i成对优化的alpha_j
j = selectJrand(i,m)
#步骤1：计算误差Ej
fXj = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
Ej = fXj - float(labelMat[j])
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (labelMat[i] != labelMat[j]):
L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
else:
L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
if L==H: print("L==H"); continue
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
#步骤4：更新alpha_j
alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("alpha_j变化太小"); continue
#步骤6：更新alpha_i
alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
else: b = (b1 + b2)/2.0
#统计优化次数
alphaPairsChanged += 1
#打印统计信息
print("第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter_num,i,alphaPairsChanged))
#更新迭代次数
if (alphaPairsChanged == 0): iter_num += 1
else: iter_num = 0
print("迭代次数: %d" % iter_num)
return b,alphas
"""
函数说明:分类结果可视化
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
w - 直线法向量
b - 直线解决
Returns:
无
"""
def showClassifer(dataMat, w, b):
#绘制样本点
data_plus = [] #正样本
data_minus = [] #负样本
for i in range(len(dataMat)):
if labelMat[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
data_plus_np = np.array(data_plus) #转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus) #转换为numpy矩阵
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #正样本散点图
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #负样本散点图
#绘制直线
x1 = max(dataMat)[0]
x2 = min(dataMat)[0]
a1, a2 = w
b = float(b)
a1 = float(a1[0])
a2 = float(a2[0])
y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
#找出支持向量点
for i, alpha in enumerate(alphas):
if abs(alpha) > 0:
x, y = dataMat[i]
plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
plt.show()
"""
函数说明:计算w
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
alphas - alphas值
Returns:
无
"""
def get_w(dataMat, labelMat, alphas):
alphas, dataMat, labelMat = np.array(alphas), np.array(dataMat), np.array(labelMat)
w = np.dot((np.tile(labelMat.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * dataMat).T, alphas)
return w.tolist()
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet('testSet.txt')
b,alphas = smoSimple(dataMat, labelMat, 0.6, 0.001, 40)
w = get_w(dataMat, labelMat, alphas)
showClassifer(dataMat, w, b)
结果为：
2.Platt SMO 算法
在这两个版本（简化版和完整版）中，实现 α 的更改和代数运算的优化环节一模一样。在优化过程中，唯一的不同就是 选择 α 的方式。完整版的Platt SMO算法应用了一些能够提速的启发方法。
Platt SMO算法是通过一个 外循环 来选择第一个α值的，并且其选择过程会在两种方式之间进行交替：一种方式是在所有数据集上进行单遍扫描，另一种方式则是在非边界 α中实现单遍扫描。而所谓非边界α指的就是那些不等于边界0或C的 α值。对整个数据集的扫描相当容易，而实现非边界 α 值的扫描时，首先需要建立这些 α值的列表，然后再对这个表进行遍历。同时，该步骤会跳过那些已知的不会改变的α值。
在选择第一个α值后，算法会通过一个 内循环 来选择第二个α值。在优化过程中，会通过 最大化步长 的方式来获得第二个α值。在简化版SMO算法中，我们会在选择j 之后计算错误率 E j。但在这里，我们会建立一个全局的缓存用于保存误差值，并从中选择使得步长或者说 E i − E j 最大的 α 值。
代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
"""
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
"""
# 数据结构，维护所有需要操作的值（书上说是用于清理代码的数据结构）
class optStruct:
def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):
self.X = dataMatIn#数据矩阵
self.labelMat = classLabels#数据标签
self.C = C#松弛变量
self.tol = toler#容错率
self.m = np.shape(dataMatIn)[0]#数据矩阵行数
self.alphas = np.mat(np.zeros((self.m,1)))#根据矩阵行数初始化alpha参数为0
self.b = 0#初始化b参数为0
#根据矩阵行数初始化虎误差缓存，第一列为是否有效的标志位，第二列为实际的误差E的值。
self.eCache = np.mat(np.zeros((self.m,2)))
"""
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
"""
# 读取数据
def loadDataSet(fileName):
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():#逐行读取，滤除空格等
lineArr = line.strip().split('\t')
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])#添加数据
labelMat.append(float(lineArr[2]))#添加标签
return dataMat,labelMat
"""
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据
Returns:
Ek - 标号为k的数据误差
"""
# 计算误差
def calcEk(oS, k):
fXk = float(np.multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*(oS.X*oS.X[k,:].T) + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
"""
Parameters:
i - alpha_i的索引值
m - alpha参数个数
Returns:
j - alpha_j的索引值
"""
# 函数说明:随机选择alpha_j的索引值
def selectJrand(i, m):
j = i#选择一个不等于i的j
while (j == i):
j = int(random.uniform(0, m))
return j
"""
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Ei - 标号为i的数据误差
Returns:
j, maxK - 标号为j或maxK的数据的索引值
Ej - 标号为j的数据误差
"""
# 内循环启发方式2
def selectJ(i, oS, Ei):
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0#初始化
oS.eCache[i] = [1,Ei]#根据Ei更新误差缓存
validEcacheList = np.nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]#返回误差不为0的数据的索引值
if (len(validEcacheList)) > 1:#有不为0的误差
for k in validEcacheList:#遍历,找到最大的Ek
if k == i: continue#不计算i,浪费时间
Ek = calcEk(oS, k)#计算Ek
deltaE = abs(Ei - Ek)#计算|Ei-Ek|
if (deltaE > maxDeltaE):#找到maxDeltaE
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej#返回maxK,Ej
else:#没有不为0的误差
j = selectJrand(i, oS.m)#随机选择alpha_j的索引值
Ej = calcEk(oS, j)#计算Ej
return j, Ej#j,Ej
"""
Parameters：
oS - 数据结构
k - 标号为k的数据的索引值
Returns:
无
"""
# 计算Ek,并更新误差缓存
def updateEk(oS, k):
Ek = calcEk(oS, k)#计算Ek
oS.eCache[k] = [1,Ek]#更新误差缓存
"""
Parameters:
aj - alpha_j的值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - 修剪后的alpah_j的值
"""
# 修剪alpha_j
def clipAlpha(aj,H,L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
"""
Parameters：
i - 标号为i的数据的索引值
oS - 数据结构
Returns:
1 - 有任意一对alpha值发生变化
0 - 没有任意一对alpha值发生变化或变化太小
"""
# 优化的SMO算法
def innerL(i, oS):
#步骤1：计算误差Ei
Ei = calcEk(oS, i)
#优化alpha,设定一定的容错率。
if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or\
((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
#使用内循环启发方式2选择alpha_j,并计算Ej
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei)
#保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
#步骤2：计算上下界L和H
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L == H:
print("L==H")
return 0
#步骤3：计算eta
eta = 2.0 * oS.X[i,:] * oS.X[j,:].T - oS.X[i,:] * oS.X[i,:].T - oS.X[j,:] * oS.X[j,:].T
if eta >= 0:
print("eta>=0")
return 0
#步骤4：更新alpha_j
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej)/eta
#步骤5：修剪alpha_j
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
#更新Ej至误差缓存
updateEk(oS, j)
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
return 0
#步骤6：更新alpha_i
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])
#更新Ei至误差缓存
updateEk(oS, i)
#步骤7：更新b_1和b_2
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[i,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.X[i,:]*oS.X[j,:].T - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.X[j,:]*oS.X[j,:].T
#步骤8：根据b_1和b_2更新b
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else:
return 0
"""
Parameters：
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
Returns:
oS.b - SMO算法计算的b
oS.alphas - SMO算法计算的alphas
"""
# 完整的线性SMO算法
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
oS = optStruct(np.mat(dataMatIn), np.mat(classLabels).transpose(), C, toler)#初始化数据结构
iter = 0#初始化当前迭代次数
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
#遍历整个数据集都alpha也没有更新或者超过最大迭代次数,则退出循环
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
alphaPairsChanged = 0
if entireSet:#遍历整个数据集
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)#使用优化的SMO算法
print("全样本遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else:#遍历非边界值
nonBoundIs = np.nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]#遍历不在边界0和C的alpha
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print("非边界遍历:第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet:#遍历一次后改为非边界遍历
entireSet = False
elif (alphaPairsChanged == 0):#如果alpha没有更新,计算全样本遍历
entireSet = True
print("迭代次数: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas#返回SMO算法计算的b和alphas
"""
Parameters:
dataMat - 数据矩阵
w - 直线法向量
b - 直线解决
Returns:
无
"""
# 分类结果可视化
def showClassifer(dataMat, classLabels, w, b):
#绘制样本点
data_plus = []#正样本
data_minus = []#负样本
for i in range(len(dataMat)):
if classLabels[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
data_plus_np = np.array(data_plus)#转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus)#转换为numpy矩阵
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7)#正样本散点图
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7)#负样本散点图
#绘制直线
x1 = max(dataMat)[0]
x2 = min(dataMat)[0]
a1, a2 = w
b = float(b)
a1 = float(a1[0])
a2 = float(a2[0])
y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
#找出支持向量点
for i, alpha in enumerate(alphas):
if abs(alpha) > 0:
x, y = dataMat[i]
plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
plt.show()
"""
Parameters:
dataArr - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
alphas - alphas值
Returns:
w - 计算得到的w
"""
# 计算w
def calcWs(alphas,dataArr,classLabels):
X = np.mat(dataArr); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
m,n = np.shape(X)
w = np.zeros((n,1))
for i in range(m):
w += np.multiply(alphas[i]*labelMat[i],X[i,:].T)
return w
if __name__ == '__main__':
dataArr, classLabels = loadDataSet('testSet.txt')
b, alphas = smoP(dataArr, classLabels, 0.6, 0.001, 40)
w = calcWs(alphas,dataArr, classLabels)
showClassifer(dataArr, classLabels, w, b)
结果为：
优化后的程序相较于之前用时更短。
三、总结
支持向量机有如下优缺点。
优点：
- 对于线性不可分的情况可以通过核函数，映射到高维特征空间实现线性可分。
- SVM学习问题可以表示为凸优化问题，因此可以利用已知的有效算法发现目标函数的全局最小值。而其他分类方法（如基于规则的分类器和人工神经网络）都采用一种基于贪心学习的策略来搜索假设空间，这种方法一般只能获得局部最优解。
- 小集群分类效果好。
缺点：
- SVM仅仅只限于一个二类分类问题，对于多分类问题解决效果并不好。
- 仅局限于小集群样本，对于观测样本太多时，效率较低。
- 寻求合适的核函数相对困难。