题面

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 1000

原题链接

分析

该题在第14题“剪绳子”的基础上，增加了大数取余部分，下面探讨C++的4种解题思路：

动态规划、数学推导、数学推导优化、贪心。

最后会再次印证一句古老的话：艺术与科学终将在某一点相遇

1 动态规划（行不通）

在第14题代码基础上，每次从第i-1个状态计算第i个状态时，加入取余运算，会得出错误的结果。理由如下：

动态规划的特点是，第i个状态依赖于第i-1个状态，最后一个状态（目标状态）依赖于倒数第二个状态，如果在状态转移间进行取余，会出现有的转移需要取余，有的转移不需要取余：

假设a和b是两个数，a>b，a需要取余，b不需要取余，a取余之后的值为a1，可能出现a1<b的情况，这就会误导后面的状态转移，最终导致错误的结果。

这是无法得出正确结果的动态规划的代码，注意，为了不产生溢出，需要将dp数组和若干中间值改成long类型（详见代码注释）：

class Solution {
public:
int cuttingRope(int n)
{
    int base = 1000000007;
    if(n==2)
    {
        return 1;
    }
    if(n==3)
    {
        return 2;
    }
    // 将dp数组改成long类型
    long dp[n+1][n+1];
    for(int i=0; i<n+1; i++)
    {
        for(int j=0; j<n+1; j++)
        {
            dp[i][j] = -1;
        }
    }
    for(int i=0; i<n+1; i++)
    {
        dp[i][i] = 1;
        dp[i][1] = i;
    }

    
    //dp[i][j],长度为i的绳子，切成j段，乘积的最大值
    for(int tmp=3; tmp<=n; tmp++)
    {
        int now_len = tmp;
        for(int sp=2; sp<now_len; sp++)
        {
            int split = sp;
            // 将x1改成long类型
            long x1 = 1;
            // 将dp数组候选值tmp_max改成long类型
            long tmp_max = -1;
            bool overflow = false;
            while((x1<now_len) && (now_len-x1)>=(split-1))
            {
                // 将乘积multi改成long类型
                long multi = (x1*dp[now_len-x1][split-1]);
                if(!overflow){
                    if(multi>base){
                        multi = multi%base;
                        tmp_max = multi;
                        overflow = true;
                    }
                    else{
                        if(multi>tmp_max){
                            tmp_max = multi;
                        }
                    }
                }
                else{
                    if(multi>base){
                        multi = multi%base;
                        if(multi>tmp_max){
                            tmp_max = multi;
                        }
                    }
                }
                x1++;
            }
            dp[now_len][split] = tmp_max;
        }
    }
    
    
    int final_max = -1;
    for(int p=1; p<=n; p++)
    {
        if(dp[n][p]>final_max)
        {
            final_max = dp[n][p];
        }
    }
    return final_max;
}
};

2 数学推导

务必先看此处的数学推导过程。

要点如下：

1. 对n%3的值进行分类讨论
2. 写出一个递归求余的函数

代码如下（注释部分即为思路）：

class Solution {
public:
    
    //递归求余的函数
    long figure(int k){
        //特判，边界条件
        if(k==0){
            return 1;
        }
        
        //特判，边界条件
        if(k==1){
            return 3;
        }
        //注意temp的值必须为long，否则leetcode上会报溢出的错误
        long temp = (3*figure(k-1));
        return temp%1000000007;

    }
    
    //分类讨论的函数
    int cuttingRope(int n) {
        //特判，n==2时返回1
        if(n==2){
            return 1;
        }
        //特判，n==3时返回2
        if(n==3){
            return 2;
        }
		
        //利用整除向下取整的特性，不管n%3是多少，k总是我们需要的值
        int k = n/3;
        long res = 0;

        
        if(n%3==0){
            //把绳子分割成k段，每段长度为3
            res = figure(k)%1000000007;
        }

        else if(n%3 == 2){
            if(k==0){
                //此处只能是n=2
                res = 1;
            }
            else{
                long mid = (figure(k))*2;
                res = mid%1000000007;
            }
        }

        else{
            if(k==0){
                //此处只能是n=1，其实这一句可以不用，因为题目要求n>1
                res = 1;
            }
            else{
                long mid = (figure(k-1))*4;
                res = mid%1000000007;
            }
        }
        int result = res;
        return result;
    }
};

提交结果：

3 数学推导优化

上面的代码，可以用四个字概括它的特点：又臭又长

一堆if-else语句，这样写代码到了后期很难维护。

进一步推导，完全可以

对这根绳子一次切3个长度，一次切3个长度，当剩余长度小于某个值时，再分类讨论。

代码如下（注释部分即为思路）：

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        int base = 1000000007;
        //res的类型必须设置为long，否则会溢出
        long res = 1;
        //特判
        if(n<3){
            return 1;
        }
        //特判
        if(n==3){
            return 2;
        }
        
        //这里必须是n>5，因为n%3的余数可能是0、1、2
        //0是我们最想要的结果，不用考虑特殊情况
        //n%3=1时，最后一次切3之前，绳子长度为4，这时我们应该把4分成2+2,而不是1+3,因为(2*2)>(1*3)
        //n%3=2时，最后一次切3之前，绳子长度为5，这时我们应该把5分成3+2
        //所以当绳子目前的长度大于5时，可以随便切3，但是当等于5或者小于5时，就要分类讨论了
        while(n>5){
            res = (res*3)%base;//循环取余，防止溢出
            n = n-3;
        }
        int fi;
        //最后一次切3之前，绳子长度为5，这时我们应该把5分成3+2,3*2=6,故fi=6
        if(n==5){
            fi = 6;
        }
        //最后一次切3之前，绳子长度为4，这时我们应该把4分成2+2,2*2=4,故fi=4
        if(n==4){
            fi = 4;
        }
        //最后一次切3之前绳子长度为3，我们不应该分这根绳子,故fi=3
        if(n==3){
            fi = 3;
        }
        return (res*fi)%base;
    }
};

提交结果：

4 贪心

上面的代码，简洁了很多，但是，从提交效果上看，和没有优化之前并无差别，为什么呢？

注意到，上面的代码在while循环之后，有3个if判断语句，编译器在底层，会对if语句的走向，进行猜测，但if的判断都是==判断，所以，编译器此时的猜测毫无意义，会浪费很多时间。

再去看一看上面的代码，我们会发现，当n<4的时候，返回的都是n-1；当n=4的时候，返回的是4。当n=5的时候，就要进行常规切3操作。

好，再去看上面代码中最后一部分：

        while(n>5){
            res = (res*3)%base;//循环取余，防止溢出
            n = n-3;
        }
        int fi;
        //最后一次切3之前，绳子长度为5，这时我们应该把5分成3+2,3*2=6,故fi=6
        if(n==5){
            fi = 6;
        }
        //最后一次切3之前，绳子长度为4，这时我们应该把4分成2+2,2*2=4,故fi=4
        if(n==4){
            fi = 4;
        }
        //最后一次切3之前绳子长度为3，我们不应该分这根绳子,故fi=3
        if(n==3){
            fi = 3;
        }
        return (res*fi)%base;

while循环的条件：n>5。如果：

我们把它改成n>4，去掉while循环后面的3个if语句，将最后一行return (res*fi)%base;改成return (res*n)%base;，我们会发现，再最终结果上，不会有任何变化，为什么不会有任何变化呢？继续分析：

while循环退出时，n有以下几种情况：

1. n=4，最后一次切完3，绳子长度为4，这时我们应该把4分成2+2,2*2=4，恰好就是绳子本身的值。
2. n=3，最后一次切完3，绳子长度为3，这时我们不应该分这根绳子，保持绳子本身的值。
3. n=2，最后一次切完3，绳子长度为2，说明最后一次切3之前，绳子的长度为5，对于5，我们应该把5分成3+2，而2恰好就是目前绳子本身的值。

综上所述，优化代码如下：

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        int base = 1000000007;
        long res = 1;
        if(n<4){
            return n-1;
        }
        if(n==4){
            return 4;
        }
        while(n>4){
            res = (res*3)%base;
            n = n-3;
        }
        return (res*n)%base;
    }
};

提交结果：

可以发现，执行时间显著降低了，因为while循环后面没有那一大堆if判断了。

如果有好好看此处的数学推导，会发现，上面的代码，完全可以按照贪心法的逻辑去理解。

艺术与科学终将在某一点相遇

Good luck!