#这是笔记，用来存档，没有自己的想法，也许内容还很trivial
设$V$V是一个数域$\Bbb{F}$F上的非空集合，并且有映射：$+:V \times V \rightarrow V$+:V×V→V，$\circ:\Bbb{F} \times V \rightarrow V$∘:F×V→V满足条件：
1.$\forall \alpha,\beta,\gamma \in V \quad (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$∀α,β,γ∈V(α+β)+γ=α+(β+γ)
2.$\exists 0\in V \quad 0+\alpha=\alpha+0=\alpha$∃0∈V0+α=α+0=α
3.$\forall \alpha\in V,\exists\beta\in V \quad \alpha+\beta=\beta+\alpha=0$∀α∈V,∃β∈Vα+β=β+α=0
4.$\alpha+\beta=\beta+\alpha$α+β=β+α
5.$\exists 1\in\Bbb{F} \quad 1\circ\alpha=\alpha$∃1∈F1∘α=α
6.$a,b\in\Bbb{F} \quad (a\cdot b)\circ\alpha=a\circ(b\circ\alpha)$a,b∈F(a⋅b)∘α=a∘(b∘α)
7.$a\circ(\alpha+\beta)=a\circ\alpha+a\circ\beta$a∘(α+β)=a∘α+a∘β
8.$(a+b)\circ\alpha=a\circ\alpha+b\circ\alpha$(a+b)∘α=a∘α+b∘α
则称（$V,+,\circ$V,+,∘）构成数域$\Bbb{F}$F上的线性空间，称$V$V中的元素为向量.
注.对于二元运算$+$+，满足性质123，（$V,+$V,+）是群，且满足性质4，构成交换群.
思考：$V=\Complex$V=C，映射$+:V \times V \rightarrow V,(\alpha,\beta)↦\alpha+\beta$+:V×V→V,(α,β)↦α+β；$\circ:\Complex\times V \rightarrow V,(k,\alpha)↦\overline{k}\alpha$∘:C×V→V,(k,α)↦kα，验证（$V,+,\circ$V,+,∘）是否构成线性空间.
命题：设（$V,+,\circ$V,+,∘）是数域$\Bbb{F}$F上的线性空间，则：
1.$V$V中的零向量是唯一的.
2.$V$V中向量的负向量是唯一的.
3.$k\circ\alpha=0\leftrightarrow k=0$k∘α=0↔k=0或$\alpha=0$α=0
4.$-(k\circ\alpha)=(-k)\circ\alpha$−(k∘α)=(−k)∘α，其中$-(k\circ\alpha)$−(k∘α)是$(k\circ\alpha)$(k∘α)的负向量.
思考：由线性空间的性质1235678推出性质4.
定义：设$V$V是数域$\Bbb{F}$F上的线性空间，设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\in V,k_1,k_2,\cdots,k_m\in\Bbb{F}$α1​,α2​,⋯,αm​∈V,k1​,k2​,⋯,km​∈F，称$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i$i=1∑m​ki​αi​为向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$α1​,α2​,⋯,αm​的线性组合.
定义：称向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$α1​,α2​,⋯,αm​的线性相关，若存在不全为$0$0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m\in\Bbb{F}$k1​,k2​,⋯,km​∈F，使得$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=0$i=1∑m​ki​αi​=0.否则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$α1​,α2​,⋯,αm​的线性无关.
注.1.$\alpha\in V$α∈V线性相关$\leftrightarrow\alpha=0$↔α=0.
2.向量组整体线性无关$\rightarrow$→部分线性无关；部分线性相关$\rightarrow$→整体线性相关.
线性空间可以引入维数的概念，注意到并不是所有线性空间都是有限维的，比如（$\Bbb{F}[x],+,\cdot$F[x],+,⋅）是无穷维的.