数据结构 第九、十讲 排序
一、前提
统一格式
void X_Sort(ElementType A[],int N);
1.大多情况下，为简单起见，讨论从小到大的整数排序
2.N是正整数
3.只讨论基于比较的排序（>,=,<有定义）
4.只讨论内部排序
5.稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变
6.没有一种排序是任何情况下都表现最好的
二、冒泡排序
最好情况：T = O（N）
最坏情况：T = O（N^2）
稳定性强
void Bubble_Sort(ElementType A[],int N)
{
for(int i=N-1;i>=0;i--) //一趟冒泡
{
int flag=0;//交换标记
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(A[j]>A[j+1])
{
swap(A[j],A[j+1]);
flag = 1;//发生了交换
}
}
if(flag==0) break;//全程无交换，证明有序化
}
}
练习
三、插入排序
void InsertionSort( ElementType A[], int N )
{ /* 插入排序 */
int P, i;
ElementType Tmp;
for ( P=1; P<N; P++ ) {
Tmp = A[P]; /* 取出未排序序列中的第一个元素*/
for ( i=P; i>0 && A[i-1]>Tmp; i-- )
A[i] = A[i-1]; /*依次与已排序序列中元素比较并右移*/
A[i] = Tmp; /* 放进合适的位置 */
}
}
练习
时间复杂度下界
逆序对：对于下标i<j，如果A[i]>A[j]，则称（i,j）是一对逆序对
交换2个相邻的元素正好消去1个逆序对
插入排序：T（N，I）= O（N+I）
如果序列基本有序，则插入排序简单且有效
定理：任意N个不同元素组成的序列平均具有N*（N-1）/4个逆序对
定理：任何仅以交换相邻两元素来排序的算法，其平均时间复杂度为Ω（N^2）
这意味着：要提高算法效率，必须
每次消去不止1个逆序对！
每次交换相隔较远的2个元素
四、希尔排序
void ShellSort( ElementType A[], int N )
{ /* 希尔排序 - 用Sedgewick增量序列 */
int Si, D, P, i;
ElementType Tmp;
/* 这里只列出一小部分增量 */
int Sedgewick[] = {929, 505, 209, 109, 41, 19, 5, 1, 0};
for ( Si=0; Sedgewick[Si]>=N; Si++ )
; /* 初始的增量Sedgewick[Si]不能超过待排序列长度 */
for ( D=Sedgewick[Si]; D>0; D=Sedgewick[++Si] )
for ( P=D; P<N; P++ ) { /* 插入排序*/
Tmp = A[P];
for ( i=P; i>=D && A[i-D]>Tmp; i-=D )
A[i] = A[i-D];
A[i] = Tmp;
}
}
五、堆排序
void Swap( ElementType *a, ElementType *b )
{
ElementType t = *a; *a = *b; *b = t;
}
void PercDown( ElementType A[], int p, int N )
{ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p ) */
/* 将N个元素的数组中以A[p]为根的子堆调整为最大堆 */
int Parent, Child;
ElementType X;
X = A[p]; /* 取出根结点存放的值 */
for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {
Child = Parent * 2 + 1;
if( (Child!=N-1) && (A[Child]<A[Child+1]) )
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if( X >= A[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
A[Parent] = A[Child];
}
A[Parent] = X;
}
void HeapSort( ElementType A[], int N )
{ /* 堆排序 */
int i;
for ( i=N/2-1; i>=0; i-- )/* 建立最大堆 */
PercDown( A, i, N );
for ( i=N-1; i>0; i-- ) {
/* 删除最大堆顶 */
Swap( &A[0], &A[i] ); /* 见代码7.1 */
PercDown( A, 0, i );
}
}
六、归并排序
核心：有序子列的归并
任何情况下时间复杂度都是O（NlogN）
稳定的算法
需要额外的O（N）空间，基本不被用于做内排序
递归算法
/* 归并排序 - 递归实现 */
/* L = 左边起始位置, R = 右边起始位置, RightEnd = 右边终点位置*/
void Merge( ElementType A[], ElementType TmpA[], int L, int R, int RightEnd )
{ /* 将有序的A[L]~A[R-1]和A[R]~A[RightEnd]归并成一个有序序列 */
int LeftEnd, NumElements, Tmp;
int i;
LeftEnd = R - 1; /* 左边终点位置 */
Tmp = L; /* 有序序列的起始位置 */
NumElements = RightEnd - L + 1;
while( L <= LeftEnd && R <= RightEnd ) {
if ( A[L] <= A[R] )
TmpA[Tmp++] = A[L++]; /* 将左边元素复制到TmpA */
else
TmpA[Tmp++] = A[R++]; /* 将右边元素复制到TmpA */
}
while( L <= LeftEnd )
TmpA[Tmp++] = A[L++]; /* 直接复制左边剩下的 */
while( R <= RightEnd )
TmpA[Tmp++] = A[R++]; /* 直接复制右边剩下的 */
for( i = 0; i < NumElements; i++, RightEnd -- )
A[RightEnd] = TmpA[RightEnd]; /* 将有序的TmpA[]复制回A[] */
}
void Msort( ElementType A[], ElementType TmpA[], int L, int RightEnd )
{ /* 核心递归排序函数 */
int Center;
if ( L < RightEnd ) {
Center = (L+RightEnd) / 2;
Msort( A, TmpA, L, Center ); /* 递归解决左边 */
Msort( A, TmpA, Center+1, RightEnd ); /* 递归解决右边 */
Merge( A, TmpA, L, Center+1, RightEnd ); /* 合并两段有序序列 */
}
}
void MergeSort( ElementType A[], int N )
{ /* 归并排序 */
ElementType *TmpA;
TmpA = (ElementType *)malloc(N*sizeof(ElementType));
if ( TmpA != NULL ) {
Msort( A, TmpA, 0, N-1 );
free( TmpA );
}
else printf( "空间不足" );
}
ACwing代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int M=100005;
int n,tmp[M],a[M];
void merge_sort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int mid=(l+r)/2;
merge_sort(a,l,mid),merge_sort(a,mid+1,r);
int i=l,j=mid+1,k=0;
while(i<=mid&&j<=r)
{
if(a[i]<=a[j]) tmp[k++]=a[i++];
else tmp[k++]=a[j++];
}
while(i<=mid) tmp[k++]=a[i++];
while(j<=r) tmp[k++]=a[j++];
for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++) a[i]=tmp[j];
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
merge_sort(a,0,n-1);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
return 0;
}
作者：第一万零一次AC
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/1075529/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
非递归算法
/* 归并排序 - 循环实现 */
/* 这里Merge函数在递归版本中给出 */
/* length = 当前有序子列的长度*/
void Merge_pass( ElementType A[], ElementType TmpA[], int N, int length )
{ /* 两两归并相邻有序子列 */
int i, j;
for ( i=0; i <= N-2*length; i += 2*length )
Merge( A, TmpA, i, i+length, i+2*length-1 );
if ( i+length < N ) /* 归并最后2个子列*/
Merge( A, TmpA, i, i+length, N-1);
else /* 最后只剩1个子列*/
for ( j = i; j < N; j++ ) TmpA[j] = A[j];
}
void Merge_Sort( ElementType A[], int N )
{
int length;
ElementType *TmpA;
length = 1; /* 初始化子序列长度*/
TmpA = malloc( N * sizeof( ElementType ) );
if ( TmpA != NULL ) {
while( length < N ) {
Merge_pass( A, TmpA, N, length );
length *= 2;
Merge_pass( TmpA, A, N, length );
length *= 2;
}
free( TmpA );
}
else printf( "空间不足" );
}
七、快速排序
最好T（N）= O（NlogN）
最坏T（N）= O（N^2）
不稳定
每次正好中分==>T（N）= O（NlogN）
主元的选择
子集划分
小规模数据处理——排序算法的选择
课堂代码
/* 快速排序 */
ElementType Median3( ElementType A[], int Left, int Right )
{
int Center = (Left+Right) / 2;
if ( A[Left] > A[Center] )
Swap( &A[Left], &A[Center] );
if ( A[Left] > A[Right] )
Swap( &A[Left], &A[Right] );
if ( A[Center] > A[Right] )
Swap( &A[Center], &A[Right] );
/* 此时A[Left] <= A[Center] <= A[Right] */
Swap( &A[Center], &A[Right-1] ); /* 将基准Pivot藏到右边*/
/* 只需要考虑A[Left+1] … A[Right-2] */
return A[Right-1]; /* 返回基准Pivot */
}
void Qsort( ElementType A[], int Left, int Right )
{ /* 核心递归函数 */
int Pivot, Cutoff, Low, High;
if ( Cutoff <= Right-Left ) { /* 如果序列元素充分多，进入快排 */
Pivot = Median3( A, Left, Right ); /* 选基准 */
Low = Left; High = Right-1;
while (1) { /*将序列中比基准小的移到基准左边，大的移到右边*/
while ( A[++Low] < Pivot ) ;
while ( A[--High] > Pivot ) ;
if ( Low < High ) Swap( &A[Low], &A[High] );
else break;
}
Swap( &A[Low], &A[Right-1] ); /* 将基准换到正确的位置 */
Qsort( A, Left, Low-1 ); /* 递归解决左边 */
Qsort( A, Low+1, Right ); /* 递归解决右边 */
}
else InsertionSort( A+Left, Right-Left+1 ); /* 元素太少，用简单排序 */
}
void QuickSort( ElementType A[], int N )
{ /* 统一接口 */
Qsort( A, 0, N-1 );
}
Acwing代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100005;
void qsort(int a[],int l,int r)
{
if(l>=r) return;
int i=l-1,j=r+1,x=a[(l+r)/2];
while(i<j)
{
do i++;while(a[i]<x);
do j--;while(a[j]>x);
if(i<j) swap(a[i],a[j]);
}
qsort(a,l,j);
qsort(a,j+1,r);
}
int main()
{
int n;
int a[N];
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
qsort(a,0,n-1);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
return 0;
}
作者：第一万零一次AC
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/1067803/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
八、表排序
间接排序：定义一个指针数组作为“表”（Table）
九、桶排序
十、基数排序
先按个位数排序，排序后放到一个链表里，再按十位数排序，放到一个链表里，再按百位数排序。
多关键字的排序
思考：次位排序（LSD）任何时候都比主位排序（MSD）快吗？
如果主位的基数比次位大的时候（即主位更能把元素分散开），MSD比LSD更快。反之，LSD比MSD快。
代码示例
/* 基数排序 - 次位优先 */
/* 假设元素最多有MaxDigit个关键字，基数全是同样的Radix */
#define MaxDigit 4
#define Radix 10
/* 桶元素结点 */
typedef struct Node *PtrToNode;
struct Node {
int key;
PtrToNode next;
};
/* 桶头结点 */
struct HeadNode {
PtrToNode head, tail;
};
typedef struct HeadNode Bucket[Radix];
int GetDigit ( int X, int D )
{ /* 默认次位D=1, 主位D<=MaxDigit */
int d, i;
for (i=1; i<=D; i++) {
d = X % Radix;
X /= Radix;
}
return d;
}
void LSDRadixSort( ElementType A[], int N )
{ /* 基数排序 - 次位优先 */
int D, Di, i;
Bucket B;
PtrToNode tmp, p, List = NULL;
for (i=0; i<Radix; i++) /* 初始化每个桶为空链表 */
B[i].head = B[i].tail = NULL;
for (i=0; i<N; i++) { /* 将原始序列逆序存入初始链表List */
tmp = (PtrToNode)malloc(sizeof(struct Node));
tmp->key = A[i];
tmp->next = List;
List = tmp;
}//头插法
/* 下面开始排序 */
for (D=1; D<=MaxDigit; D++) { /* 对数据的每一位循环处理 */
/* 下面是分配的过程 */
p = List;
while (p) {
Di = GetDigit(p->key, D); /* 获得当前元素的当前位数字 */
/* 从List中摘除 */
tmp = p; p = p->next;
/* 插入B[Di]号桶尾 */
tmp->next = NULL;
if (B[Di].head == NULL)
B[Di].head = B[Di].tail = tmp;
else {
B[Di].tail->next = tmp;//尾插法
B[Di].tail = tmp;
}
}
/* 下面是收集的过程 */
List = NULL;
for (Di=Radix-1; Di>=0; Di--) { /* 将每个桶的元素顺序收集入List */
if (B[Di].head) { /* 如果桶不为空 */
/* 整桶插入List表头 */
B[Di].tail->next = List;//?????????
List = B[Di].head;
B[Di].head = B[Di].tail = NULL; /* 清空桶 */
}
}
}
/* 将List倒入A[]并释放空间 */
for (i=0; i<N; i++) {
tmp = List;
List = List->next;
A[i] = tmp->key;
free(tmp);
}
}
十一、排序算法的比较
课后练习
某名企的面试题有一道是这样的：
从1000个数字中找出最大的10个数字，最快的算法是——
A. 归并排序
B. 快速排序
C. 堆排序
D. 选择排序
答案是C。但是这个答案真的对吗？
①归并排序要全部排好后才能得出结果，肯定不算最优。
②快排也要等到全部排好后才有结果，同样不是最优。
③堆排序：可以设置一个容量为10的最小堆，每次遍历元素比堆顶元素大就将堆顶元素替换，一轮遍历下来即得到前十大的数字，但针对每个元素的操作比较麻烦，设最坏情况每个新元素都比堆中所有元素更大，则单个元素替换堆顶元素并下滤一层的过程可能要7次操作甚至更多，总操作次数可能为 1000log107=21000。
④选择排序：遍历十次即出结果，关键是对每个元素的操作简单，只需要与max比较和给max赋值2次操作，最坏情况下操作次数为 1000102=20000。
因此，可能选择排序还更快一些。
原因就在于选择排序虽然是O(N^2)的时间复杂度，但其常数项很小（仅为2），对于小规模问题效率很高（如题中取前10大数字）。
而堆排序尽管是O(NlogN)的时间复杂度，但其常数项很大（大于7），更适合解决大规模的问题（比如1000个数字全部排序）。