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文献笔记
参考文献
[1] Hull, J. , & White, A. . (2017). Optimal delta hedging for options. Social Science Electronic Publishing, 82(sep.), págs. 180-190.
[2] Ahmad, R., & Wilmott, P. (2005). Which free lunch would you like today, sir?: Delta hedging, volatility arbitrage and optimal portfolios. Wilmott, 64-79.
1.数学符号定义
| 符号 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|
| f | 期权价值 | f B S f_{BS} fBS：基于BS公式计算出的期权理论价值； Δ f \Delta f Δf 期权价格的变化量 |
| S | 期权标的资产价格 | Δ S \Delta S ΔS 标的资产价格的变化量 |
| δ \delta δ | 期权的Delta值 | Δ B S \Delta_{BS} ΔBS：基于BS公式计算出的期权Delta值； Δ M V \Delta_{MV} ΔMV：最小方差Delta |
| v B S v_{BS} vBS | 期权的Vega值 | |
| σ \sigma σ | 期权波动率 | σ i m p \sigma_{imp} σimp：隐含波动率 |
| T | 期权剩余到期时间 |
2. 最小方差Delta对冲
Ahmad, R., & Wilmott, P. (2005)的论文提到，当期权价格是根据市场价格来定的（Market to Market），出于风险管理的需要，为了避免每天收益(Profit and Loss)波动太大，出现在某一天出现较大亏损的极端情况，通常使用隐含波动率来进行delta对冲。每天收益的标准差可以写成 σ S ∣ Δ i − Δ h ∣ d t \sigma S |\Delta^i - \Delta^h| \sqrt{dt} σS∣Δi−Δh∣dt ,可以看出对冲的delta值越接近用隐含波动率计算的delta值，收益的波动性就越小。详情可参见Delta对冲：一般形式和模拟实验。
作者提出了一种最小方差Delta的计算方法：
Δ
M
V
=
∂
f
B
S
∂
S
+
∂
f
B
S
∂
σ
i
m
p
∂
E
(
σ
i
m
p
)
∂
S
=
δ
B
S
+
v
B
S
∂
E
(
σ
i
m
p
)
∂
S
(1)
\begin{aligned} \Delta_{MV} &= \frac{\partial f_{BS}}{\partial S} + \frac{\partial f_{BS}}{\partial \sigma_{imp}} \frac{\partial E(\sigma_{imp})}{\partial S} \\ &= \delta_{BS} + v_{BS}\frac{\partial E(\sigma_{imp})}{\partial S} \tag{1} \end{aligned}
ΔMV=∂S∂fBS+∂σimp∂fBS∂S∂E(σimp)=δBS+vBS∂S∂E(σimp)(1)
可最小化
Δ
f
−
δ
M
V
Δ
S
\Delta f -\delta_{MV}\Delta S
Δf−δMVΔS的方差。
3. 理论推导
假定期权的价格f，只受到标的资产S和隐含波动率
σ
i
m
p
\sigma_{imp}
σimp两个因素的影响(相当于没考虑Theta，Gamma等的影响)，期权的价格可表示为如下形式：
f
=
f
B
S
(
S
,
σ
i
m
p
)
(2)
f = f_{BS}(S,\sigma_{imp}) \tag{2}
f=fBS(S,σimp)(2)
对（2）式进行泰勒展开，可以得到：
Δ
f
=
∂
f
∂
S
Δ
S
+
∂
f
∂
σ
i
m
p
Δ
σ
i
m
p
+
O
(
Δ
S
2
)
=
δ
B
S
Δ
S
+
v
B
S
Δ
σ
i
m
p
+
ϵ
(3)
\begin{aligned} \Delta f &= \frac{\partial f}{\partial S} \Delta S + \frac{\partial f}{\partial \sigma_{imp}} \Delta \sigma_{imp} +O(\Delta S^2) \\ &= \delta_{BS} \Delta S + v_{BS}\Delta \sigma_{imp} +\epsilon \tag{3} \end{aligned}
Δf=∂S∂fΔS+∂σimp∂fΔσimp+O(ΔS2)=δBSΔS+vBSΔσimp+ϵ(3)
等式(3)的两边同时减去
δ
M
V
Δ
S
\delta_{MV} \Delta S
δMVΔS,可以得到
Δ
f
−
δ
M
V
Δ
S
=
(
δ
B
S
−
δ
M
V
)
Δ
S
+
v
B
S
Δ
σ
i
m
p
+
ϵ
(4)
\begin{aligned} \Delta f - \delta_{MV} \Delta S = (\delta_{BS} - \delta_{MV}) \Delta S + v_{BS}\Delta \sigma_{imp} +\epsilon \tag{4} \end{aligned}
Δf−δMVΔS=(δBS−δMV)ΔS+vBSΔσimp+ϵ(4)
等式（4）两边同时求关于 Δ S \Delta S ΔS的条件期望可以得到：
这一步我是真的迷惑
δ M V = δ B S + v B S E ( Δ σ i m p ) Δ S + E ( ϵ ) Δ S (5) \begin{aligned} \delta_{MV} = \delta_{BS} + v_{BS} \frac{E(\Delta \sigma_{imp}) }{\Delta S}+\frac{E(\epsilon) }{\Delta S} \tag{5} \end{aligned} δMV=δBS+vBSΔSE(Δσimp)+ΔSE(ϵ)(5)
当
Δ
S
\Delta S
ΔS趋近于0的时候，最后一项是无穷小（因为
ϵ
=
O
(
Δ
S
2
)
\epsilon = O(\Delta S^2)
ϵ=O(ΔS2),是关于
Δ
S
\Delta S
ΔS的无穷小），因此可以写成：
δ
M
V
=
δ
B
S
+
v
B
S
E
(
Δ
σ
i
m
p
)
Δ
S
(6)
\begin{aligned} \delta_{MV} = \delta_{BS} + v_{BS} \frac{E(\Delta \sigma_{imp}) }{\Delta S} \tag{6} \end{aligned}
δMV=δBS+vBSΔSE(Δσimp)(6)
作者通过式子（6）和不同的期权数据对 δ M V \delta_{MV} δMV进行估计发现， δ B S − δ M V \delta_{BS} - \delta_{MV} δBS−δMV 与期权剩余到期时间的相关性不大，并且大概是 δ B S \delta_{BS} δBS的二次函数。并且对于欧式期权来说， v B S = S T N ′ ( d 1 ) e − q t , d 1 = N − 1 ( δ B S e q t ) v_{BS} = S \sqrt{T} N'(d1) e^{-qt}, d1= N^{-1}( \delta_{BS}e^{qt}) vBS=ST N′(d1)e−qt,d1=N−1(δBSeqt)。可以得到 v B S = S T N ′ ( N − 1 ( δ B S e q t ) ) e − q t v_{BS}=S \sqrt{T} N'(N^{-1}( \delta_{BS}e^{qt})) e^{-qt} vBS=ST N′(N−1(δBSeqt))e−qt，如果不存在分红，q=0，那么 v B S S T \frac{v_{BS}}{S \sqrt{T}} ST vBS 就只依赖于 δ B S \delta_{BS} δBS。
v B S = S T G ( δ B S ) (7) \begin{aligned} v_{BS}=S \sqrt{T} G(\delta_{BS}) \tag{7} \end{aligned} vBS=ST G(δBS)(7)
结合式（6）和式（7），以及从期权数据中获得的信息“
δ
B
S
−
δ
M
V
\delta_{BS} - \delta_{MV}
δBS−δMV 与期权剩余到期时间的相关性不大，并且大概是
δ
B
S
\delta_{BS}
δBS的二次函数”，作者提出了一种假设形式：
δ
M
V
=
δ
B
S
+
v
B
S
S
T
(
a
+
b
δ
B
S
+
c
δ
B
S
2
)
(8)
\delta_{MV} = \delta_{BS} + \frac{v_{BS}}{S \sqrt{T}} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) \tag{8}
δMV=δBS+ST
vBS(a+bδBS+cδBS2)(8)
我其实觉得这里的推理不太能够说服我，因为是二次函数，就定义为vega*二次函数的形式，vege跟delta的关系比较复杂。
其中a,b,c都是常数。结合式（6）和式（8）式，可以得到
E
(
Δ
σ
i
m
p
)
=
(
a
+
b
δ
B
S
+
c
δ
B
S
2
)
T
Δ
S
S
(9)
E(\Delta \sigma_{imp}) = \frac{(a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2)}{\sqrt{T}} \frac{\Delta S}{S} \tag{9}
E(Δσimp)=T
(a+bδBS+cδBS2)SΔS(9)
4. 参数估计和模型评估
4.1 参数估计
如式子（8）所示，作者给出了
δ
M
V
\delta_{MV}
δMV和
δ
B
S
\delta_{BS}
δBS之间的关系，该式子需要估计出a，b，c三个常数的值，估计方法如下所示：
Δ
f
−
δ
B
S
Δ
S
=
v
B
S
T
Δ
S
S
(
a
+
b
δ
B
S
+
c
δ
B
S
2
)
+
ϵ
(10)
\begin{aligned} \Delta f - \delta_{BS} \Delta S = \frac{v_{BS}}{ \sqrt{T}}\frac{\Delta S}{S} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) +\epsilon \tag{10} \end{aligned}
Δf−δBSΔS=T
vBSSΔS(a+bδBS+cδBS2)+ϵ(10)
基于式子（9）和式子（3），可以得到等式（10），利用上式进行线性回归，即可求出a,b,c
4.2 模型评估
作者建立了一个Gain指数来评估模型的好坏，基尼指数的计算方式如下：
G
a
i
n
=
1
−
S
S
E
[
Δ
f
−
δ
M
V
Δ
S
]
S
S
E
[
Δ
f
−
δ
B
S
Δ
S
]
(11)
Gain = 1- \frac{SSE[ \Delta f - \delta_{MV} \Delta S]}{SSE[ \Delta f - \delta_{BS} \Delta S]} \tag{11}
Gain=1−SSE[Δf−δBSΔS]SSE[Δf−δMVΔS](11)
SSE代表了平方误差和。Gain指数等于0，说明两种对冲方式的效果相当；Gain指数大于0时，说明最小方差Delta的对冲效果更好，收益的波动率较小；Gain指数小于0时，说明标准delta对冲的对冲效果更好，收益的波动率较小。
基于标准BS公式的delta对冲的对冲误差为:
ϵ
B
S
=
Δ
f
−
δ
B
S
Δ
S
(12)
\epsilon_{BS} = \Delta f - \delta_{BS} \Delta S \tag{12}
ϵBS=Δf−δBSΔS(12)
基于最小方差delta对冲的对冲误差为：
ϵ
M
V
=
Δ
f
−
δ
M
V
Δ
S
=
Δ
f
−
δ
B
S
Δ
S
−
v
B
S
T
Δ
S
S
(
a
+
b
δ
B
S
+
c
δ
B
S
2
)
(13)
\begin{aligned} \epsilon_{MV} &= \Delta f - \delta_{MV} \Delta S \\ &= \Delta f - \delta_{BS} \Delta S -\frac{v_{BS}}{ \sqrt{T}}\frac{\Delta S}{S} (a+b\delta_{BS}+c\delta_{BS}^2) \tag{13} \end{aligned}
ϵMV=Δf−δMVΔS=Δf−δBSΔS−T
vBSSΔS(a+bδBS+cδBS2)(13)
基于式(12）和（13）,可以重写Gain指数如下所示：
G a i n = 1 − S S E ( ϵ M V ) S S E ( ϵ B S ) (14) Gain = 1- \frac{SSE(\epsilon_{MV})}{SSE(\epsilon_{BS})} \tag{14} Gain=1−SSE(ϵBS)SSE(ϵMV)(14)
5. 标准对冲 VS 最小方差delta对冲
原文基于S&P 500的数据进行了研究，本实验将基于上证50 etf及其期权的数据进行探索，上证50etf期权上市于2015年2月9日，至今有六年的历史交易及行情数据。
对冲的频率为日度对冲。
5.1 数据处理
5.2 参数估计
本实验将使用过去一年的数据来估计参数a,b,c，并用来计算接下来一个月对冲的 δ M V \delta_{MV} δMV值。