协整关系（cointegration）和配对交易

2023-11-13 09:37:22

https://zhuanlan.zhihu.com/p/158871695

最近做的小项目是协整关系用于配对交易。顺便复习了协整和相关性之间的差异。应该来说，协整关系是时间序列的一个重点内容，多次碰到，值得注意。

一、相关性（correlation）VS协整关系（cointegration）

1、相关性（correlation）

定义：通常是两个序列X 和 Y之间的线性依存关系（linear dependence），

$\begin{aligned} & corr(X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}\\ \end{aligned}$

XY相关系数corr(X,Y)=0，未必独立（独立定义P(XY)=P(X)P(Y)），因为XY可能服从非线性的相关关系；而独立一定不相关。
corr(X,Y)=0，是指X的线性组合无法解释Y。
相关系数介于[-1,1]之间—— ±1是完全线性相关。
检测相关性，pearsonr检测的是具体值之间的相关性，spearsonr检测的是rank之间的相关性（券商多因子中提到的RankIC一般就是spearmanr）。

from scipy.stats import pearsonr, spearmanr
pearson_corr, pearson_pvalue = pearsonr(X, Y)
spearnman_corr, spearnman_pvalue = spearmanr(X, Y)

2、平稳性（Stationarity）

定义：如果数据产生过程的参数（例如均值和方差）不随着时间变化，那么数据平稳。
例如，时间序列 $x_t$ 的均值和方差是常数、和时间t无关，那么 $x_t$ 具有平稳性。
如果用平稳的分析刻画一个均值/方差随时间变化的时间序列，那么将会导致garbage in garbage out。

例如，下图series B，是一个随着时间t而均值不断增大的曲线。

测试平稳性：使用augmented Dickey Fuller test，P值越小，说明越可能是平稳的时间序列。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
pvalue = adfuller(some_series)[1]

3、单整（Integration）——不是很重要

单整阶数（order of integration）

$I(0)$ ：如果一个时间序列Y的移动平均表达 $Y_t = \sum_{i=1}^{\infty}b_i\epsilon_{t-i} + \eta_t$ ，满足条件 $\sum_{i=0}^{\infty}|b_i|^2 <\infty$ ，那么 $Y_t$ 服从 $I(0)$ ；其中 $\epsilon_i$ 是随机过程的白噪声（残差项）， $b_i$ 是残差项的权重， $\eta$ 是起决定作用的序列。
注意： $I(0) \in Stationarity$

$I(1)$ ：如果一个序列X的一阶差分服从 $I(0)$ ，那么X服从 $I(1)$ 。
实际运用：资产收益率一般被认为是服从 $I(0)$ ，资产价格被认为服从 $I(1)$ 。

4、协整（Cointegration）

问题：单整 $I(1)$ 的时间序列未必平稳，但是如果通过一阶差分得到平稳的时间序列，那么刻画的是短期的动态。这里需要协整关系。
定义：如果 $X_t$ 和 $Y_t$ 均为 $I(1)$ ，但是线性组合 $aX_t+bY_t\sim I(0)$ ，那么 $X_t$ 和 $Y_t$ 之间存在协整关系。
通常表达， $Y_t = cX_t+\epsilon_t$ ，其中 $\epsilon_t$ 是平稳的时间序列，那么当回归系数 $c$ 和 $\epsilon_t$ 均和时间t无关的时候，那么就能够用 $X_t$ 预测 $Y_t$ 。
直觉

当两个资产价格服从协整关系的时候，那么其线性组合满足均值回复(mean reverting)的性质。
$X_2=\alpha+\beta X_1+\epsilon$ ，那么从 $X_2$ 中剔除 $X_1$ 的影响之后， $\alpha+\epsilon = X_2-\beta X_1$ 是平稳的序列、满足均值回复。如果 $X_2-\beta X_1$ 超出了这个关系，那么就能够在突破上下限的时候进行套利交易。

测试协整关系

from statsmodels.tsa.stattools import coint 
_, pvalue, _ = coint(X1, X2)

P值越小，说明X1和X2的协整关系越强。

5、协整VS相关性

协整不一定相关

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr
from statsmodels.tsa.stattools import coint 
import matplotlib.pyplot as plt

x1 = pd.Series(np.random.normal(0,1,1000))
x2 = x1.copy()
for i in range(10):
    x2[(100*i):(100*i+100)] = (-1)**i
    
plt.figure(figsize=(6,3))
plt.plot(x1, c='blue')
plt.plot(x2, c='red')
plt.show()    

_, pv, _ = coint(x1, x2)
print("Cointegration test p-value : ", pv)
correl, pv = pearsonr(x1, x2)
print("Correlation : ", correl)

结果：协整关系非常显著p-value = 0.0；但是基本没有相关性。

相关不一定协整

ret1 = np.random.normal(1,1,100)
ret2 = np.random.normal(2,1,100)
s1 = pd.Series(np.cumsum(ret1))
s2 = pd.Series(np.cumsum(ret2))
plt.figure(figsize=(6,3))
plt.plot(s1)
plt.plot(s2)
plt.show()
_, pv, _ = coint(s1, s2)
print("Cointegration test p-value : ", pv)
correl, pv = pearsonr(s1, s2)
print("Correlation : ", correl)

结果：相关性基本接近1，但是协整关系不显著。

因此，在配对交易策略中，协整关系是重点，相关性不用考虑。

二、配对交易策略（paris trading）

1、原理

因为假设X和Y服从 $Y_t=\alpha + \beta X_t+\epsilon_t$ 的关系，我们重点关注回归系数 $\beta$ 的变化。诚然， $\beta$ 不会一直是一个固定不变的常数，我们允许 $\beta$ 在一个上下限波动；
当 $\beta$ 超出了上限的时候，说明 $Y_t$ “太贵”了、 $X_t$ “太便宜”了，对应的策略是short $Y_t$ +long $X_t$ ；
当 $\beta$ 超出了下限的时候，说明 $Y_t$ “太便宜”了、 $X_t$ “太贵”了，对应的策略是long $Y_t$ +short $X_t$ 。
配对交易一般用于期货交易，因为期货允许short。

2、数据

链接：https://pan.baidu.com/s/1ZFfCLlk-RQ1YLTdtVldy4w

提取码：uyt4

这里取出协整关系最强的期货合约“CU.SHF铜主连合约”和“SF.CZC硅铁主连合约”的日度“结算价格”数据。

import pandas as pd 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import coint 

data = pd.read_excel(r'...')

#测试相关性和协整关系
_, pv_coint, _ = coint(data['CU.SHF'], data['SF.CZC'])
corr, pv_corr = pearsonr(data['CU.SHF'], data['SF.CZC'])
print("Cointegration pvalue : %0.4f"%pv_coint)
print("Correlation coefficient is %0.4f and pvalue is %0.4f"%(corr, pv_corr))

结果

Cointegration pvalue : 0.0000 
Correlation coefficient is 0.8770 and pvalue is 0.0000

协整关系和相关性都很强。

3、画出结算价走势

def plotSettlePrice(df, var1, var2, var1_name, var2_name, title):
    temp = df[[var1, var2]].dropna()
    fig = plt.figure(figsize=(10,5))
    # 解决中文显示问题
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    
    ax1 = fig.add_subplot(111)
    ax1.plot(temp[var1], c = 'blue')
    ax1.set_ylabel(var1_name)
    ax1.set_title(title)
    plt.legend(loc = 'upper left', labels=[var1_name])
    ax1.set_xlabel('年份')    
    
    ax2 = ax1.twinx()  # this is the important function
    ax2.plot(temp[var2], c = 'orange')
    ax2.set_ylabel(var2_name)
    ax2.set_xlabel('年份')        
    plt.legend(loc = 'upper right', labels=[var2_name])
    plt.show()    

plotSettlePrice(data, 'CU.SHF', 'SF.CZC', 'CU.SHF铜', 'SF.CZC硅铁',
                'CU.SHF铜 和 SF.CZC硅铁 价格走势图')

4、计算CU.SHF结算价/SF.CZC结算价的比例Ratios

这个Ratios即为 $Y_t=\alpha + \beta X_t+\epsilon_t$ 中的 $\beta$ 。
我们默认 $X_t = SF.CZC，Y_t = CU.SHF$ 。
计算结算价比例，并且画出比例的频率直方图，基本符合正态分布。

def getRatios(df, var1, var2, plotOrNot):
    df1 = df[[var1, var2]].dropna()
    S1 = df1[var1]
    S2 = df1[var2]
    ratios = S1 / S2  
    if plotOrNot:
        plt.figure(figsize=(10,5))            
        ratios.hist(bins = 200)
        plt.title("Ratios histogram")
        plt.ylabel('Frequency')
        plt.xlabel('Intervals')
        plt.show()
    return S1, S2, ratios

S1, S2, ratios = getRatios(data, 'CU.SHF', 'SF.CZC', 1)

5、Z-Score

定义： $ZScore = \frac{ Ratios-mean(Ratios) }{ std(Ratios)}$
ZScore将交易信号Ratios标准化处理。

为什么要标准化处理？

因为我们需要通过价格比例Ratios找到交易信号。但是Ratios的分布取决于具体的合约；而我们希望任何两个合约输入到程序中，都能够按照固定的模式找到交易信号。
怎样才是触发交易的信号？Ratios具体在哪个上限以上、才说明了CU更贵、SF更便宜，下降到哪个下限以下、才说明了相反情况？
因此，我们把Ratios标准化为Z-Score，并且认为在一个标准差(-1,1)内的波动是正常的；超过一个标准差(-∞,-1)&(1, ∞)即为触发了交易信号。这样，即便选取其他的合约，也不会受到β的不同而大改程序。

画出ZScore的时间走势，同时画出±1的水平直线，如果ZScore和±1的水平直线相交，我们认为触发了交易信号。

def getZScore(ratios, plotOrNot):
    
    zScore = (ratios - ratios.mean()) / ratios.std()    
    
    if plotOrNot:
        zScore.plot(figsize=(10,5))
        plt.axhline(zScore.mean(), color='black')
        plt.axhline(1.0, color='red', linestyle='--')
        plt.axhline(-1.0, color='green', linestyle='--')
        plt.legend(['Ratio z-score', 'Mean', '+1', '-1'])
        plt.title("zScore time series")
        plt.xlabel('Date')
        plt.ylabel('Intervals')

        plt.show()
    
        plt.figure(figsize=(10,5))
        zScore.hist(bins = 200)
        plt.title("zScore histogram")
        plt.ylabel('Frequency')
        plt.xlabel('Intervals')        
        plt.show()
    return zScore

zScore = getZScore(ratios, 1)

6、特征工程

ZScore作为信号过于薄弱。因为它集中的是“整个时期”的关系；而我们交易必然是一个动态变化的过程。这里需要不断计算“一段时间”的ZScore，而不是“整个时期”的ZScore。

例如，在1月1号~2月1号的区间，我们得到一个ZScore，用于得到2月2号的交易信号；然后，在在1月2号~2月2号的区间，再次得到一个ZScore，用于得到2月3号的交易信号；以此类推；这是一个滚动的过程。

因此，我们滚动计算一段区间的ZScore。这里，我选取了Ratios滚动5日的均值、Ratios滚动60日的均值以及Ratios滚动60日的标准差，计算真正的信号ZScore_moving。
这里5、60的区间能够通过机器学习的算法进行调整，得到最好的结果的滚动区间。例如GPlearn。
同时拆分训练集和测试集。

def getMovingIndex(ratios, train_pct, w1, w2, plotOrNot):
    ### w1 < w2，拆分训练集+验证集，训练集的比例是train_pct    
    length = len(ratios)
    trainLength = int(train_pct * length)
    train = ratios[:trainLength]
    test = ratios[trainLength:]
    
    # 计算指标moving_average, moving_std，以及moving_z_score：这里可以使用gplearn！！
    # 希望通过moving_z_score找到信号
    ratios_mavg1 = train.rolling(window=w1, center=False).mean()
    ratios_mavg2 = train.rolling(window=w2, center=False).mean()
    std = train.rolling(window=w2, center=False).std()
    zscore_mv = (ratios_mavg1 - ratios_mavg2) / std
    
    if plotOrNot:
        plt.figure(figsize=(10,5))
        zscore_mv.hist(bins = 200)
        plt.title("zScore with signals histogram")
        plt.ylabel('Frequency')
        plt.xlabel('Intervals')        
        plt.show()        
        
        plt.figure(figsize=(10,5))
        plt.plot(train.index, train.values)
        plt.plot(ratios_mavg1.index, ratios_mavg1.values)
        plt.plot(ratios_mavg2.index, ratios_mavg2.values)
        plt.legend(['Ratio','%dd Ratio MA'%w1, '%dd Ratio MA'%w2])
        plt.ylabel('Ratio')
        plt.show()    
    
        plt.figure(figsize=(10,5))
        zscore_mv.plot()
        plt.axhline(0, color='black')
        plt.axhline(1.0, color='red', linestyle='--')
        plt.axhline(-1.0, color='green', linestyle='--')
        plt.legend(loc='upper right', labels = ['Rolling Ratio z-Score', 'Mean', '+1', '-1'])
        plt.show()
    return train, test, zscore_mv

train, test, zscore_mv = getMovingIndex(ratios, 0.7, 5, 60, 1)

7、找到交易信号

在得到了ZScore_mv和±1相交的点之后，即为触发了交易信号。这里再把交易信号投射到Ratios曲线上。
信号-1<= zscore_mv <=1，那么buy=0和sell=0；

注意这里的buy是指“buy ratios”，sell是指“sell ratios”；注意这里定义的buy和sell的操作是同时操作两个合约。

buy只有在信号<-1的时候出现，long CU.SHF，short SF.CZC；
sell只有在信号>1的时候出现，short CU.SHF，long SF.CZC。

def getTradeSignal(train, zscore_mv, w2, plotOrNot):
    # Plot the ratios and buy and sell signals from z score
    plt.figure(figsize=(10,5))

    train[w2:].plot()
    buy = train.copy()
    sell = train.copy()
    
    # 信号ratios = CU.SHF / SF.CZC，衍生出buy和sell。
    # 其他时候ratios = 0.
    buy[zscore_mv > -1] = 0
    sell[zscore_mv < 1] = 0
    
    if plotOrNot:
        buy[60:].plot(color='g', linestyle='None', marker='^')
        sell[60:].plot(color='r', linestyle='None', marker='^')
        x1, x2, y1, y2 = plt.axis()
        plt.axis((x1,x2,ratios.min(),ratios.max()))
        plt.legend(['Ratio', 'Buy Signal', 'Sell Signal'])
        plt.show()    

    return buy, sell

buy, sell = getTradeSignal(train, zscore_mv, 60, 1)

8、两个合约具体交易

将Ratios上找到的交易信号，再次投射到具体的合约上。

def Trade2Contract(df, var1, var2, buy, sell, w2):
    S1, S2, ratios = getRatios(df, var1, var2, 0)
    plt.figure(figsize=(10,5))
    S1 = S1.reindex(index = buy.index)
    S2 = S2.reindex(index = buy.index)
    S1[w2:].plot(color='b')
    S2[w2:].plot(color='c')

    # buyR和sellR先填充0。
    buyR = 0 * S1.copy()
    sellR = 0 * S1.copy()
    
    # 即buy只有在信号ratios<-1的时候保持ratios原值，此刻long S1=CU.SHF，short S2=SF.CZC
    buyR[buy!=0] = S1[buy!=0]
    sellR[buy!=0] = S2[buy!=0]

    # 即sell只有在信号ratios>1的时候保持ratios原值，此刻short S1=CU.SHF，long S2=SF.CZC。
    buyR[sell != 0] = S2[sell != 0]
    sellR[sell != 0] = S1[sell != 0]

    buyR[w2:].plot(color='g', linestyle='None', marker='^')
    sellR[w2:].plot(color='r', linestyle='None', marker='^')
    x1, x2, y1, y2 = plt.axis()
    plt.axis((x1, x2, min(S1.min(), S2.min()),max(S1.max(), S2.max())))

    plt.legend([var1, var2, 'Buy Signal', 'Sell Signal'])
    plt.show()    

Trade2Contract(data, 'CU.SHF', 'SF.CZC', buy, sell, 60)

9、总体

在连续日度交易的程序中，我们需要注意

原始资金=0，通过short一方合约得到资金、再long另一方合约，因此是“空手套白狼”；
当ZScore_mv<-1，buy "ratios"——long CU + short SF，那么CU的仓位+，SF仓位-；
当ZScore_mv >1，sell "ratios"——short CU + long SF，那么CU的仓位-，SF仓位+；
当ZScore_mv回落到[-0.5,0.5]之内，我们进行反向操作、立刻清仓，所有仓位清零；同时赚的钱=开仓的钱-清仓的钱。
注意，第i日的得到的信号，用于第i+1日的交易，不要用到未来信息。

def PairsTrade(S1, S2, window1, window2):
    # If window length is 0, algorithm doesn't make sense, so exit
    if (window1 == 0) or (window2 == 0):
        return 0
    # Compute rolling mean and rolling standard deviation
    ratios = S1 / S2
    mv_ave1 = ratios.rolling(window=window1, center=False).mean()
    mv_ave2 = ratios.rolling(window=window2, center=False).mean()
    mv_std = ratios.rolling(window=window2, center=False).std()
    zscore = (mv_ave1 - mv_ave2) / mv_std
    
    # Simulate trading
    # Start with no money and no positions
    money = 0
    countS1 = 0
    countS2 = 0
    length = len(ratios)
    for i in range(length-1):
        
        # 如果信号zscore > 1，那么short s1（s1仓位-1）,得到的钱long s2*ratios（s1仓位+1*ratios）。
        if zscore[i] > 1:
            money += S1[i+1] - S2[i+1] * ratios[i+1]
            countS1 -= 1
            countS2 += ratios[i+1]
        
        # 如果信号zscore < -1，那么short ratios*s2,得到的钱long s1。
        elif zscore[i] < -1:
            money -= S1[i+1] - S2[i+1] * ratios[i+1]
            countS1 += 1
            countS2 -= ratios[i+1]
        
        # 如果信号zscore处在(-0.5, 0.5)之间，清仓——反向操作，用此刻的价格*此刻的仓位作为清仓的成本。同时仓位清零。
        elif abs(zscore[i]) < 0.5:
            money += countS1 * S1[i+1] + countS2 * S2[i+1]
            countS1 = 0
            countS2 = 0            
            
    return money

print(PairsTrade(S1, S2, 5, 60))

最后结果为804202.5827628284。

10、改进

信号能够通过gplearn进行改进。
具体的交易需要考虑手续费以及取整等问题。
便于更多的合约进入。
回测框架。

以上就是配对交易的基本思想。欢迎评论~

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一、相关性（correlation）VS协整关系（cointegration）

二、配对交易策略（paris trading）

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