一、概述

       图像的傅里叶变换及其两个重要的度量：幅度谱和相位谱。了解两个重要的概念：低频和高频。低频指的是图 的傅里叶变换 “ 中心位置 ” 附近的区域。注意，如无特殊说明，后面所提到的图像的傅里叶变换都是中心化后的。高频随着到“ 中心位置 ” 距离的增加而增加，即傅里叶变换中心位置的外围区域，这里的“ 中心位置 ” 指的是傅里叶变换所对应的幅度谱最大值的位置。 频率域滤波器在程序或者数学运算中的呈现可以理解为一个矩阵，该矩阵的宽、高和图像的傅里叶变换的宽、高是相同的，下面所涉及的常用的低通、高通、带通、带阻 等滤波的关键步骤，就是通过一定的准则构造该矩阵的。

二、步骤

步骤如下：

 

下面通过一个简单的例子来详细解释频率域滤波的整个步骤。 第一步：输入图像矩阵 I 。假设为： 第二步：图像矩阵的每一个像素值乘以 （-1）r+c 得到矩阵 I′ ， I′ =I.* （ -1 ） r+c ，其 中 r 和 c 代表当前像素值在矩阵中的位置索引。 第三步：因为图像矩阵的宽和高均为 7 ，为了利用傅里叶变换的快速算法，对 I′ 补 0 ，使用命令getOptimalDFTSize （ 7 ）得到一个不小于 7 且可以分解为 2p ×3q ×5r 的最小整数，计算结果为8 。所以在矩阵 I′ 的右侧和下侧各补一行 0 ，记为 f ：

 

 第四步：利用傅里叶变换的快速算法得到复数矩阵F。

 

 

        OpenCV是将复数矩阵按照双通道存储的，即第一通道存储的是复数矩阵的实部，第二通道存储的是复数矩阵的虚部。

 

第五步：构建频率域滤波器 Filter 。频率域滤波器本质上是一个和第四步得到的快速傅里叶变换矩阵F 具有相同行数、列数的复数矩阵，一般情况下为实数矩阵，这里假设是 一个全是1的矩阵：

 

本章提到的频率域滤波，如低通滤波、高通滤波、自定义滤波等，其关键步骤就是 通过一定的标准构造该矩阵以完成图像在频率域上的滤波。 第六步：将第四步得到的快速傅里叶变换矩阵 F 和第五步得到的频率域滤波器 Filter 的对应位置相乘（矩阵的点乘）。当然，如果滤波器是一个实数矩阵，那么在代码实现 中，将傅里叶变换的实部和虚部分别与频率域滤波器进行点乘即可，即Ffilter =F.*Filter，因为这里构造的滤波器是一个全是1 的矩阵，所以 F filter =F 。 第七步：对第六步得到的点乘矩阵 Ffilter 进行傅里叶逆变换，得到复数矩阵 F′ 。 第八步： 取复数矩阵F′的实部 。 第九步：与第二步类似，将第八步得到的矩阵乘以（ -1 ） r+c 。 第十步：因为在快速傅里叶变换的步骤中进行了补 0 操作，所以第九步得到的实部矩 阵的尺寸有可能比原图大，所以要进行裁剪，取该实部矩阵的左上角，尺寸和原图相同。裁剪得到的结果，即为频率域滤波的结果。在该示例中，因为滤波器是一个全是1 的 矩阵，相当于对原图没有做任何处理，即最后滤波的结果和原图是一样的。 频率域滤波算法均是按照上述十个步骤完成的，接下来详细介绍常用滤波器的构建 方法、代码实现及其效果。

三、低通滤波

 针对图像的傅里叶变换，低频信息表示图像中灰度值缓慢变化的区域；而高频信息则正好相反，表示灰度值变化迅速的部分，如边缘。低通滤波，顾名思义，保留傅里叶变换的低频信息；或者削弱傅里叶变换的高频信息；而高通滤波则正好相反，保留傅里叶变换的高频信息，移除或者削弱傅里叶变换的低频信息。 三种常用的低通滤波器：                H、 W 分别代表图像快速傅里叶变换的高、宽， 傅里叶谱的最大值（中心点）的位置在maxR，maxC , radius 代表截断频率， D （ r ， c ）代表到中心位置的距离 1、理想低通滤波：ilpFilter=[ilpFilter(r,c)]H*w,

 2、巴特沃斯低通滤波器

第二种是巴特沃斯低通滤波器，记 blpFilter=[blpFilter （ r ， c ） ]H×W

 3、高斯低通滤波器

记glpFilter=[glpFilter（r，c）]H×W；

 作用：

滤波器越靠近中心点位置的值越接近于1，越远离中心位置的值就越小于1，与傅里叶变换相乘后，相当于保留了低频信息，消弱或者移除了高频信息

四、低通滤波的代码实现