我加的概念

• 匹配：边集，任两边无公共vertex。
• 最大：含边数最多的匹配。
• 完美：若一个图的某匹配，所有点都是匹配点。
• 完美定是最大，并非每个图都有完美。

积和式模2和行列式

• $Des(A)=|A|=\sum_{\pi\in S_n}(-1)^{\epsilon(\pi)}\prod_{j=1}^{n}A_{j,\pi(j)}$Des(A)=∣A∣=π∈Sn​∑​(−1)ϵ(π)j=1∏n​Aj,π(j)​
• poly可计算
• $Permanent(A)=|A|=\sum_{\pi\in S_n}\prod_{j=1}^{n}A_{j,\pi(j)}$Permanent(A)=∣A∣=π∈Sn​∑​j=1∏n​Aj,π(j)​
• 同奇偶

积和式模2^k

Permanent:偶图(二部图)的带权完美匹配数目

• $Permanent(A)=|A|=\sum_{\pi\in S_n}\prod_{j=1}^{n}A_{j,\pi(j)}$Permanent(A)=∣A∣=π∈Sn​∑​j=1∏n​Aj,π(j)​
• $n$n个点的有向图，$2n$2n个点的偶图
• 有向中，有向边的权重$W(j,k)=A_{j,k}$W(j,k)=Aj,k​
  • Permanent(A)是有向图的什么呢？
• 无向偶中，边$W(j,k')=A_{j,k}$W(j,k′)=Aj,k​
  • Permanent(A)是无向图的什么呢？

行列式：带符号的图覆盖于带符号的偶图完美匹配

• $\pi=(1)(23)(456)=\left( \begin{array}{cc} 123456\\ 1'3'2'5'6'4'\\ \end{array} \right)$π=(1)(23)(456)=(1234561′3′2′5′6′4′​)
• 排列的奇偶性=？
  
• =？
  

Pfaffian：带符号的完美匹配