化乘除为加减
我们知道四则混合运算加减乘除是算数的基础，这里面乘和除又可以通过加减来实现，所以加减是更为基本的运算。这些我们小学就知道了，人类是这么走过来的，计算机也是这么走过来的。
我们先来实现两个数的乘法，ab，按照定义就是把a自加b次，如34，就是把3自己加自己总共加四次。
程序如下：
def multiply(a,b):
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
else:
r = 0
while b>=1:
r = r + a
b = b - 1
return r
print(multiply(123,12))
程序的核心就是那个while循环，将a自加b次。
你肯定看出来了，上面的程序只能计算正整数，负数算不对。所以我们再考虑一下正负数。有四种情况：+ +，+ -，- +，- -。对这四种情况，我们得出它的结果的符号，然后化为正数进行计算。程序如下：
def multiply(a,b):
sign = 1 #default to positive
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b # set b to positive
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a # set a to positive
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a # set a to positive
b = 0 - b # set b to positive
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
else:
r = 0
while b>=1:
r = r + a
b = b - 1
if sign == 1: # positive
return r
else: #negative
return 0 - r
好。我们通过加法实现了乘法，循环这么多次，很笨很笨，但是确实是能干活儿。同样我们也可以用减法实现除法。如果有移位操作，我们会极大提高效率。
我们再琢磨一下，如果b是实数就算不对了,因为有小数部分，而上面的循环只对整数有效。实际上实数是由两个整数中间加点组成的，所以还是可以处理。有点复杂，暂不介绍。
好奇的你又会开始问了，计算机内部真的是这么干的吗？答案是部分是，实际上，计算机内部是通过加法和移位操作联合起来实现乘法的，为了处理负数和实数，还需要用到补码和规范化存储规范。后面我们会讲到。
接下来看一下移位操作怎么极大地加快了计算。小学学习的就是这个过程。
举个例子125*103，我们上面的程序需要循环103次，看我们怎么移位加速：
按照十进制的定义，103 = 1102+0101+3*100。这样只要把125移位几次再相加即可。分成三部分：
1*102 将125移位2次，再乘1，得到12500
0*101 0值，不计算
3*100 将125移位0次，再乘3，得到375
然后把三部分相加12500+0+375=12875。
同样得到结果，只用了三次移位外加三次循环。
其实，Python里面是有移位操作的<<。但是结果有点跟想的不一样，你可以试一下45<<，结果会返回90，而不是450，你会有一点吃惊。原因是因为计算机内部用二进制表示，左移一次等效于乘2。我们可以自己模拟写一个shift函数：
def lshift(a,n):
r = a
while n>=1 :
r = r * 10
n -= 1
return r
这个函数将一个数乘10，100，1000，相当于移位n次。实现用到了乘法，这个只是示意，实际计算机里面移位是一个独立的基本运算。
这里我们还用到了一个新的表达 n -= 1，这是一个缩写，等同于 n = n-1。
再用这个lshift()改写乘法程序：
def multiply(a,b):
sign = 1
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a
b = 0 - b
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
r = 0 #result
s = str(b) #convert to string
for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string
n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left
c=lshift(a,i) #shift
while n>=1:
r = r + c
n = n - 1
if sign == 1:
return r
return 0 - r
程序的关键部分是那个嵌套循环：
for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string
n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left
c=lshift(a,i) #shift
while n>=1:
r = r + c
n = n - 1
这里我们看到了一个for语句，这是一个固定次数的循环，次数就是数字串的位数，如对103，循环次数就是3. i的取值依次为0，1，2。之后，根据位置从右往左拿到该位置上的数字，即程序语句：n = int(s[len(s)-i-1])，如对103，第一次i为0，那么就是拿的3-0-1=2这个位置的数字，这个位置是103的最右边一位（记得编号是从0开始的，所以最后一位也就是第三位的位置编号为2）。拿到该数字后，先把被乘数移位，移i次，比如对103中的3，就移位0次，相当于不动，对1就要移位两次。然后拿着这个移位后的数乘以n（通过加循环n次实现），即对103中的3，我们把125循环三次相加得到375，对于103中的0，我们不计算，对于103中的1，我们把12500循环1次相加得到12500，所以最后的结果为12875。
顺便提一下，while循环里的r=r+c, n=n-1写成r += c, n -= 1更加显得像是高手。
测试一下print(multiply(125,103))。
再解释一下二进制下的乘法实现，为以后讲计算机内部实现做点准备。
我们已经知道，计算机内部用二进制表示数，101010…，其数值等于k2n+K2n-1+…+k*20。
所以ab就相当于ak2n+aK2n-1+…+ak*20，即把a移位后累加。二进制的好处是它只有0和1两个数字，所以不用考虑别的，直接移位或者不移位就可以了（十进制里面还要考虑个位数的乘法）。
试一下65，6二进制表示为110，二进制表示为101，我们计算110101的值：
-
101的右边第一位为1，将110左移0位得到110
-
101的右边第二位为0，因此不计算(结果当成0)
-
101的右边第三位为1，将110左移2位得到11000
-
把1，2，3三步的结果相加：11000+0+110=11110,该结果就是30。
除法类似的，是通过减法和移位操作实现的，我们看一个例子。
我们看815/23，手工按照这几步从高位到低位做：
-
先用8除23，商为0，余数为8；
-
余数8左移，得到80，再加上第二位1，得到81，除23，商为3，余数为12；
-
余数12左移，得到120，再加上第三位5，得到125，除23，商为5，余数为10。
计算完毕，得到商为035，即35，余数为10。
程序如下：
def lshift(a,n):
r = a
while n>=1 :
r = r * 10
n -= 1
return r
def divide(a,b):
sign = 1
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a
b = 0 - b
if a==0:
return 0
elif b==1:
return a
:
result = 0
remaining = 0
s = str(a)
for i in range(0,len(s)): # for each digit in a
n = int(s[i]) # get the digit from left to right
divident = lshift(remaining,1)+n
if divident>=b:
#divide
count=0
while divident>=b:
count = count + 1
divident = divident - b
result = lshift(result,1) + count
remaining = divident
result = lshift(result,1) + 0
remaining = divident
if sign == 1:
return result
return 0 - result
你们按照乘法的过程自己把除法跟踪一遍。
测试print(divide(815,23))。
二进制除法也是同样的原理，也因为只有0，1两个数，所以比十进制简单，不用除个位数，只需要比大小，大就是1，小就是0。
我们试一下85/6，用二进制表示为1010101/110，按照如下步骤操作：
-
先拿最高位，1，跟110比大小，小，商为0，余数为1；
-
余数左移，为10，再加上第二位数字0，得数还是10，跟110比大小，小，商为0，余数为10；
-
余数左移，为100，再加上第三位数字1，得数是101，跟110比大小，小，商为0，余数为101；
-
余数左移，为1010，再加上第四位数字0，得数是1010，跟110比大小，大，商为1，余数为100；
-
余数左移，为1000，再加上第五位数字1，得数是1001，跟110比大小，大，商为1，余数为11；
-
余数左移，为110，再加上第六位数字0，得数是110，跟110比大小，大，商为1，余数为0；
-
余数左移，为00，再加上第七位数字1，得数是1，跟110比大小，小，商为0，余数为1；
计算完毕，最后的商为0001110(即14)，余数为1。
现在我们就知道把四则运算化成了加减运算，以后我们还会进一步将减法化为加法。这样从原理上，只需要有加法操作就可以了。万法归一。
计算机好神奇啊，你肯定会这么想。它通过简单数字（0/1）和基本运算叠加累计，最后构成了复杂的运算。但是这么想并不全对，更准确的说法是计算机很笨而人很神奇，计算机只能做最简单的操作，而人通过算法一步步让计算机完成了复杂运算。一直到现在发展出Internet，智能手机，发射火箭，穿越星际空间，传播视频，远程医疗，破译DNA，发展无人驾驶汽车，但是我们须知循着路径回溯，一层层破解技术，最后的内核就是一个简单极了的操作孤单地摆在我们眼前。正如大千世界，分析到了最后，就只有几个基本粒子漂浮在虚无缥缈的时空。古来圣贤皆寂寞。
地球上现存的人类只有一种，统一叫做智人(Homo Sapiens)。
扩展一下，如果你在中学学得多一点，有可能学到了复数。我们的程序又不能支持了。这里我们需要一个新的表达，用一个数是不行，复数包含实部和虚部，所以Python用12 + 3j表示。注意这里用的是j，不是数学中的i，这么做是为了遵从电子工程界的惯例。
有了这个知识，我们也是可以写出程序来实现复数域的运算的。我不演示程序了，你们自己做。