先来说下常用算符的定义.

半正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang \geq 0\)

正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang > 0\)

厄米算符: \(A=A^\dagger\), 特征值是实数.

幺正算符(酉算符): \(A^\dagger=A^{-1}, 即 AA^\dagger=I\)

正规算符: \(AA^\dagger=A^\dagger A\), 充要条件是可以进行对角化及谱分解.

再说说这几个之间的关系.

• 半正定算子一定是厄米算子. 详细证明见我的这篇博文.

• 厄米算子一定是正规算子.

  \(厄米算子 \Longleftrightarrow A=A^\dagger \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)

• 酉算子一定是正规算子.

  \(酉算子 \Longleftrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A=I \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)