各种算符之间的关系

  • 先来说下常用算符的定义.

    半正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang \geq 0\)

    正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang > 0\)

    厄米算符: \(A=A^\dagger\), 特征值是实数.

    幺正算符(酉算符): \(A^\dagger=A^{-1}, 即 AA^\dagger=I\)

    正规算符: \(AA^\dagger=A^\dagger A\), 充要条件是可以进行对角化及谱分解.

  • 再说说这几个之间的关系.

    • 半正定算子一定是厄米算子. 详细证明见我的这篇博文.

    • 厄米算子一定是正规算子.

      \(厄米算子 \Longleftrightarrow A=A^\dagger \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)

    • 酉算子一定是正规算子.

      \(酉算子 \Longleftrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A=I \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)

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