一、关键路径

（一）AOE网

• 在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销（如完成活动所需的时间），称之为⽤边表示活动的网络，简称AOE网 (Activity On Edge NetWork)
  
• AOE⽹具有以下两个性质：
  ① 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始；
  ② 只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发⽣。
  另外，有些活动是可以并行进行的

• 在AOE网中仅有⼀个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点），它表示整个⼯程的开始；
• 也仅有⼀个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点），它表示整个⼯程的结束。

（二）关键路径

• 从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最⼤路径⻓度的路径称为关键路径，⽽把关键路径上的活动称为关键活动
• 完成整个⼯程的最短时间就是关键路径的⻓度，若关键活动不能按时完成，则整个⼯程的完成时间就会延⻓
  
  
• 活动ai的时间余量d(i)=l(i)-e(i)，表⽰在不增加完成整个⼯程所需总时间的情况下，活动ai可以拖延的时间
• 若⼀个活动的时间余量为零，则说明该活动必须要如期完成，d(i)=0即l(i) = e(i)的活动ai是关键活动由关键活动组成的路径就是关键路径

（三）求关键路径的步骤

（四）求所有事件的最早发生时间

1. 求所有事件的最早发生时间ve()

（五）求所有事件的最迟发⽣时间

1. 求所有事件的最迟发⽣时间 vl()

（六）求所有活动的最早发生时间

1. 求所有活动的最早发生时间e()

（七）求所有活动的最迟发生时间

1. 求所有活动的最迟发生时间l()

（八）求所有活动的时间余量

（九）关键活动、关键路径的特性

• 若关键活动耗时增加，则整个工程的工期将增长
• 缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期
• 当缩短到一定程度时，关键活动可能会变成非关键活动
  
• 可能有多条关键路径，只提⾼⼀条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个⼯程的⼯期，只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到缩短⼯期的⽬的。