级数是个什么东西
在说道:"级数是个什么东西"之前，先要肯定"数列是个什么东西"是不言而喻的。作为研究数与数之间在连续层面上依赖关系的函数的姊妹，数列研究数与数之间在离散层面上的依赖关系。
在对于极限概念的探讨上，函数有微积分，数列有级数。所谓"从此到彼，所历之和"在函数中指的是积分，在数列中指的就是部分和数列。按照这个思路，由一个函数可以催生一个新的函数，数列同理。
数列的和应该对标的是函数中的无穷积分。两者的判敛法也是高度重合的。不过，因为不离散，无穷积分中没有比值判敛法和根值判敛法。
什么叫函数项级数
假定函数的本质是一个映射：
那么，函数项级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n,x)\)是一个由x\(\rightarrow\)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)\)的映射。即由自变量向一个数项级数的映射。所对应的级数收敛的自变量为收敛点，发散的自变量为发散点，收敛点的集合构成收敛域。在收敛域上，每一个自变量所对应的级数都是收敛的，即这些自变量都对应着一个自己的和。如此，便构筑起了一个由自变量\(\rightarrow\)和的映射，将这个映射称之为和函数。
当形式为\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\)时，称之为幂级数。称\(a_n\)为系数。对其收敛域有Abel阿贝尔定理，延伸出收敛半径R及收敛区间。
\[\rho=\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\\\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{a_{n}}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\rho=0,R=+\infty\\\rho=+\infty,R=0\\0<\rho<+\infty,R=\frac{1}{\rho}\end{cases} \]当用如上方法难以求解，可以尝试使用换元法，或者对\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n=a_nx^n\)使用数项级数的比值法进行求解。
和函数的求解
已知一个函数项级数对应一个和函数，那么这样的转化是如何进行的呢？实际上，这是一个非构造性的过程。
首先，我们的确有一些范本，用以进行最基础的求解:
\[1.\quad\sum_{0}^{+\infty}x^{an}=\frac{1}{1-x^a}\\ 2.\quad\sum_{10}^{+\infty}x^{an}=\frac{x^a}{1-x^a} \]不过，当然不能直接使用范本的情况是更多的。这是就要想办法去套用范本。要套用，就要改变形式。如何改变形式？
注释：用\(S(x)\)来表示和函数，用\(\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)\)来表示函数项级数。
- 凑配法：在方程两边同时乘除一个式子。
- 积分法：\(S'(x)=[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]'=\sum_{n=1}^{+\infty}f'(n,x)\)
- 求导法：\(\int_{0}^{x}S(x)=\int_{0}^{x}[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{x}[f(n,x)]\)
函数与级数的关系
如果提到要在函数和级数之间建立一种映射，或许还要提到上面所说的和函数。已知存在函数项级数有自己唯一对应的和函数，那么可以建立一个函数项级数\(\rightarrow\)和函数的映射，那么有反映射:函数\(\rightarrow\)级数。称由一个函数得到对应级数的过程为展开成级数。
相对于求解一个函数项级数的和函数这样的一个非构造性问题，函数的展开更像是一个构造性问题。
graph TB a[展开成级数]==>tl[泰勒级数] a==>b[傅里叶级数] b-->c[以2π为周期的周期函数] b-->d[以2i为周期的周期函数] style a fill:#e44800,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px;展开成泰勒级数
准许条件是在展开点有无穷阶微分。对符合条件的函数施以泰勒公式，则得泰勒级数
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]特殊的，当\(x_0\)取0，称之为麦克劳林级数，化简后形式为
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]下面列举一下比较常见的泰勒级数展开：
| 函数 | 级数 | 范围 |
|---|---|---|
| \(sinx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(-\infty<x<\infty\) |
| \(cosx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) | \(-\infty<x<\infty\) |
| \(arctanx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) | \(\| x\|<1\) |
| \(e^x\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\) | \(-\infty<x<\infty\) |
| \(\frac{1}{1-x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) | \(\|x\|<1\) |
| \(\frac{1}{1+x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\) | \(\|x\|<1\) |
| \(ln(1+x)\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(-1<x\le1\) |
展开成傅里叶级数
准许条件是该函数具有周期性。假定一个复合条件的函数周期为\(2i\)。
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\\b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\end{cases} \]到这里，已经为傅里叶级数创造了一个最基础的范本。在这之下，还有许多变数。详见下图
graph TB a[傅里叶级数]==>tl[按奇偶性区分] tl-->tl1[正弦级数] tl-->tl2[余弦级数] a==>b[按周期区分] b-->c[以2π为周期的函数] b-->d[以2i为周期的函数] style a fill:#647256,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl1 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl2 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px;在上面范本的形式中出现了\(\pi\)。实际上，可以将以\(2\pi\)为周期的函数的傅里叶级数提炼成更特殊的形式:
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\\b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\end{cases} \]这是在周期层面上的区分，在奇偶性的层面上也可以进行区分:
\[若f(x)为奇函数，有\\ \begin{cases} a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin nx \end{cases} \] \[若f(x)为偶函数，有\\ \begin{cases} a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos nx\\ b_n=0 \end{cases} \]复数项级数
如果说，上面以实数为项的级数是实数项级数，那么以复数为项的级数就是复数项级数。实际上，复数项级数的性质与实数项级数大体一致。
在复数项级数中。主要研究的是复数函数项级数，即复变函数项级数。由于性质与实数函数项级数一般没有区别，下面仅列出几点不同以供了解。
-
设\(\alpha_n=a_n+ib_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n收敛的充要条件是\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)均收敛。
-
实数函数项级数的收敛域对应复变函数项级数中的收敛圆盘，该圆盘的边界称为收敛圆。
- \[\]
f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}{+\infty}c_n(z-z_0)n\
其中c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
Taylor=\sum\limits_{n=-\infty}{+\infty}c_n(z-z_0)n=\sum\limits_{n=-\infty}{0}c_n(z-z_0)n+\sum\limits_{n=0}{+\infty}c_n(z-z_0)n\
\Rightarrow Taylor=Laurent+\sum\limits_{n=1}{+\infty}\frac{c_n}{(z-z_0)n}