本文主要参考自：A Survey of Product Quantization，2018 by ITE Transactions on Media Technology and Applications (MTA)。Yusuke Matsui , Yusuke Uchida , Herv´e J´egou，Shin’ichi Satoh (member)
notation：M，D，K：每个D维的vector分成M段，每段D/M维，每段聚K类
1.Pre-rotation(OPQ)
PQ只是简单地将维度划分成M份，不考虑数据分布，子向量没有含义，原文提出可以先将数据用正交矩阵旋转一下。
OPQ实现了这一点：迭代计算正交矩阵，使得量化误差最小。训练阶段分两步：
- 所有训练数据都用R旋转，接下来codeword和PQ一样处理。
- 给定训练过的codeword，用Orthogonal Procrustes Problem的处理方法来更新R。
OPQ是对PQ的直接扩展，通常情况下，应用旋转矩阵的附加损失适中，但增加了精度。
2.Generalization(AQ,CQ)
Additive Quantization和Composite Quantization泛化了PQ表示。原始PQ用M个D/M维向量concat而成，AQ和CQ表示M个D维向量的和向量。
第m个子码书表示为，其中
。输入向量x依然编码成M份，但重组的向量变为求第m份K个向量的和。（这个重组向量就相当于过去的编（聚类）号后concat的那个，比如x~=[0001 0011 0010]现在就是x~=6，如理解有错请指正）
过去：现在：
这句话不理解：If we restrict each sub-codeword such that only values for mth region is nonzero, Eq. (10) becomes Eq. (6).
This shows that PQ is a special case of AQ/CQ.其中Eq6和Eq10分别是上面左右两个公式。
给定查询y，和AQ/CQ码ix，AQ/CQ的非对称距离计算方式是：
第一项忽略，因为查询过程中不变；第二项和PQ中一样可以预先计算O(DKM)，在线查表即可O(M)；第三项的计算是个问题，要是和第二项一样处理，在线过程时间复杂度是O(M^2)，成为了计算瓶颈，AQ和CQ对此提出了不同解决方式。
AQ中使用额外的一字节标量量化来存储这一项，查询时时间复杂度是O(1)；CQ训练子codeword(子codeword的内积)，第三项近似成一个常数。注意在原始PQ中这一项总是0，因为子codebook是正交的。
3.编码策略