给你一个 m x n 的矩阵 matrix 和一个整数 k ，找出并返回矩阵内部矩形区域的不超过 k 的最大数值和。

题目数据保证总会存在一个数值和不超过 k 的矩形区域。

示例 1：

输入：matrix = [[1,0,1],[0,-2,3]], k = 2
输出：2
解释：蓝色边框圈出来的矩形区域 [[0, 1], [-2, 3]] 的数值和是 2，且 2 是不超过 k 的最大数字（k = 2）。

示例 2：

输入：matrix = [[2,2,-1]], k = 3
输出：3

提示：

m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100
-105 <= k <= 105

进阶：如果行数远大于列数，该如何设计解决方案？

思路：
m行n列的矩阵，子矩阵不超过k的最大数值和。
先求列前缀和，再枚举上下边界，对每行的列前缀和求行前缀和. 原问题就转为一维问题：“给定整数数组和整数k, 计算该数组的最大区间和， 要求区间和不超过k.”
设sum[i] = row[0] + row[1] + … + row[i], i =1,2,3…, 求使得sum[j]- sum[i] <= k , i<=j, 的最大区间和sum[j] - sum[i]，也就是求使得sum[i] >= sum[j] - k成立的sum[i]的最小值。
在取件[0, j]中使用二分查找，找到符合条件的i。

code:

# leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
from sortedcontainers import SortedList
class Solution:
    def maxSumSubmatrix(self, matrix, k: int) -> int:
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        ans = float("-inf")
        presum_col = [[0] * n]
        # 求列的前缀和矩阵
        for i in range(1, m+1):
            presum_col.append([])
            for j in range(0, n):
                presum_col[i].append(presum_col[i-1][j] + matrix[i-1][j])
        # 求不超过k的最大数值和
        for i in range(1, m+1):  # 枚举上边界
            for j in range(i, m+1):  # 枚举下边界
                dp = 0
                dp_list = SortedList([0])  # 有序列表
                for r in range(0, n):  # 遍历每个列元素，二分查找第k个元素结尾的符合sum[l] >= sum[r] - k 的sum[l]的最小值
                    dp += presum_col[j][r] - presum_col[i-1][r]  # 行前缀和
                    index = dp_list.bisect_left(dp - k)  # 二分查找
                    if index != len(dp_list):
                        ans = max(ans, dp - dp_list[index])
                    dp_list.add(dp)
        return ans

s = Solution()
print(s.maxSumSubmatrix(matrix = [[1,0,1],[0,-2,3]], k = 2))