【Applied Algebra】可满足性模理论(Satisfiability Modulo Theories)入门

摘要:SMT问题是在特定理论下判定一阶逻辑公式可满足性问题.它在很多领域,尤其是形式验证、程序分析、软件测试等领域,都有重要的应用.本文介绍了SMT问题的基本概念、相关定义以及目前的主流理论.

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从SAT到SMT

SAT(satisfiability)问题指的是命题逻辑公式的可满足性问题.随着研究的深人,人们发现SAT在表达能力上有很大的局限性,许多应用用SAT进行编码并不是很明智的选择,它们需要比SAT更强的表达方式.在这种形势下,将SAT问题扩展为SMT,经过扩展,SMT能比SAT更好地表达一些人工智能和形式化方法领域内的问题,比如在资源规划、时序推理、编译器优化等很多方面用到了SMT.

SMT的全称是Satisfiability Modulo Theories,可被翻译为"可满足性模理论",“多理论下的可满足性问题"或者"特定(背景)理论下的可满足性问题”,其判定算法被称为SMT求解器.简单地说,一个SMT公式是结合了理论背景的逻辑公式,其中的命题变量可以代表理论公式.对于SMT的研究起源于20世纪70年代末80年代初,当时的一些学者为形式化方法设计了一些判定算法,这些算法可以看作最早的SMT求解器;到了20世纪90年代,人们开始研究能处理大规模工业界问题的SMT求解技术.最近几年在工业界和学术界,这类技术均得到了迅猛的发展.而SMT求解器也被集成到一些大型工具中,比如HOL/Isabelle、ESC/Java2、ACL2、UCLID、BLAST、ureka,CUTE和PEX等.

SAT问题回答某个命题逻辑公式的可满足性,如:

A ∧ B ∨ ¬ C A \wedge B \vee \neg C A∧B∨¬C

但实际中的公式却往往是这样的(带有谓词,以表达更复杂的问题逻辑):

a + b < c ∧ f ( b ) > c ∨ c > 0 a+b<c \wedge f(b)>c \vee c>0 a+b<c∧f(b)>c∨c>0

SMT求解的过程就是探索如何判断这样公式的可满足性;从逻辑学角度来看, a + b < c a+b<c a+b<c或者