题目要求

原题目链接：322. 零钱兑换

题目要求如下：

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例如下：

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

解法：动态规划

思路

原问题可以分解为若干子问题进行求解，设dp[i]表示总金额为i时，凑成所需要的最小硬币个数，现假设有coins[3]三种面值的硬币可以选择，那么对于dp[i]的最优解，只需要比较dp[i - coins[0]] + 1 、 dp[i - coins[1]] + 1 和 dp[i - coins[2]] + 1哪个值最小即可。

因而可以得到状态转移方程：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin[j]] + 1)

完整AC代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //先对dp做初始化 保证dp[i]的初值大于一切组合可能
        Arrays.fill(dp, amount + 1);
        dp[0] = 0;
        // 依序计算总金额i的最优解
        for(int i = 1; i < amount + 1; i++){
        	// 对于不同面值的硬币进行对比 找到当前总金额为i时的最优解
            for(int j = 0; j < coins.length; j++){
                if(coins[j] <= i){
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(nm)，n表示总金额，m表示面值个数，总共需要计算O(n)个最优解，n为总金额，对于每个总金额，需要遍历m个面值来找到最优解，因此时间复杂度为O(nm)。
空间复杂度：O(n)，n表示总金额，状态表示数组需要开辟长度为总金额的空间。