上一节我们使用了两种不同的方式来获得两个数的最大公约数，那么如何判断我们应该使用哪一种方式呢？这里就涉及到了算法的时间复杂度、空间复杂度、稳定性等几个方面的因素，这次我们要讨论的大O表示法就是用来表示时间复杂度。

大O表示法法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速——《算法图解》

开始前的准备

在开始学习之前请先确认一下你是否还记得高中所学的对数。

$$ \log_{3}9 $$

如果你可以一眼看出这个对数的结果是3，那么我们就可以进入接下来的部分了。

什么是大O表示法

大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的运算速度有多快。

首先我们来看一个函数，当我们输入n时，函数的结果是1+2+...+n的和。

int add(int n){
    int a=0;              //第1行
    int i;                //第2行
    for(i=1;i<=n;i++){    //第3行
        a+=i;             //第4行
    }
    return a;             //第5行
}

在这里for语句需要执行n次，我们就称他是时间复杂度为O(n)。

之所把他叫做大O表示法，仅仅因为操作数前面有一个大O。

这里我们可以再看一个二分查找的例子，二分查找类似于我们小时候玩的猜数游戏，当你猜一个数时，你的小伙伴会告诉你这个数是否正确，偏大了还是偏小了。直到你最终猜出正确的答案。比如我们猜1-100中的一个数，我们会猜50，得到结果之后就可以把范围缩小到1-50或者51-100，以此类推。每次我们都能将查找的范围缩小一半。

所以我们每次的查找范围就是n,n/2,n/4,....直到

$$ n/2^k $$

其中k就是循环的次数,随着k的增大，他们的比值将越来越接近于1。

令

$$ n/2^k=1 $$

可得

$$ k=\log_2 N $$

即当我们需要在长度为N的表上查找的时候，最多需要查找的次数是

$$ \log_2 N $$

所以二分查找的时间复杂度即为

$$ O(\log_2 N) $$

注意事项：算法的速度并非指时间，而是操作数的增速。

常见的大o运行时间

1.

$$ O(\log_x N) $$

这样的算法包括二分查找

2.

$$ O(N) $$

这样的算法包括简单查找
3.

$$ O(N*\log_x N) $$

这样的算法包括快速排序
4.

$$ O(N)^2 $$

这样的算法包括选择排序

参考资料

1.《算法图解》

2.《算法（第四版）》