题意:
给你长度为n的数组a,和一个长度的集合B,你每次可以在B中任意挑选一个长度x来给a某个对应长度的区间的数值正负反转。问你最终a中的值之和最大是多少。
题解:
这道题不错啊,dp打开了新的世界,暂时还没看到评分,不过这种我有想法但是有点不知道怎么实现的题目一般都是2500往上走吧…坐等分数出来打脸。
首先看到这个
⌊
n
2
⌋
\lfloor\frac{n}{2}\rfloor
⌊2n⌋,我就感觉,是不是可以通过一些长度的组合来实现更小区间的转变呢?比如长度5和7的话,那么首先可以构造出只翻转2个,于是我们得到了2…然后通过5和2我们得到了1.稍加思考就可以知道这些长度能构成最小的变换区间为他们的gcd。但是如果没有这个条件的话就不可以了,因为摆放的空间就不够大(可以自己试验一下)。
那么这道题目就变成了:给你一个数组a,一个长度x,你每次可以翻转连续x个数字的正负,如何将a数组的和变得最大。
我首先考虑的依旧延续了数学的思路,但是想了一会就wa了,注意到:
x为3时,-1 1 1 -1的答案是4,-1 1 -1 1的答案就是2.因此必然跟位置有关系,那么我感觉用数学的方法就很难写了,于是转换成dp思考,那该如何表示当前状态呢?
按照一般dp而言就是从前往后遍历,通过之前的状态转移到当前的状态。但是连续更改x个,我没办法表示这x个数的正负,如果表示和的话,根据翻转位置的不同会导致更多的问题…该怎么办。
可以发现一件事情,你每次更改的就是连续x个数的正负,映射到i%x中,你会发现无论更改什么位置,其实就是更改
i
(
0
<
=
i
<
x
)
+
k
x
(
k
∈
0
,
1
,
2
,
3...
)
i(0<=i<x)+kx(k∈0,1,2,3...)
i(0<=i<x)+kx(k∈0,1,2,3...)的正负。那么假设
(
0
<
=
i
<
x
)
i
,
i
+
x
,
i
+
2
x
,
i
+
3
x
.
.
.
(0<=i<x)i,i+x,i+2x,i+3x...
(0<=i<x)i,i+x,i+2x,i+3x...看成一个单位
i
i
i的话,那么
0
<
=
i
<
x
0<=i<x
0<=i<x的正负反转次数时同奇同偶的。
我们使用dp[i][0]表示i单位翻转了偶数次,dp[i][1]表示i单位翻转了奇数次。
那么最终的答案就是
m
a
x
(
∑
i
=
0
x
d
p
[
i
]
[
0
]
,
∑
i
=
0
x
d
p
[
i
]
[
1
]
)
max(\sum\limits_{i=0}^{x}dp[i][0],\sum\limits_{i=0}^{x}dp[i][1])
max(i=0∑xdp[i][0],i=0∑xdp[i][1])。
状态转移方程怎么写?
对于第i个位置,如果你要翻转,那么第i%x单位当然从奇变偶,偶变奇。如果不翻转,那么当然是奇偶性延续。
ll n0=max(dp[i%x][0]+a[i],dp[i%x][1]-a[i]);
ll n1=max(dp[i%x][0]-a[i],dp[i%x][1]+a[i]);
dp[i%x][0]=n0;dp[i%x][1]=n1;
不过我交c++17出错了,c++14就过了耶?好像是不知道什么错乱导致了dp数组并未重新初始化。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e6+5;
int a[N];
ll dp[N][2];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int t;
cin>>t;
while(t--){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int x,y;
cin>>x;
for(int i=2;i<=m;i++)cin>>y,x=__gcd(x,y);
for(int i=0;i<x;i++)
dp[i][0]=a[i],dp[i][1]=-a[i];
for(int i=x;i<n;i++){
ll n0=max(dp[i%x][0]+a[i],dp[i%x][1]-a[i]);
ll n1=max(dp[i%x][0]-a[i],dp[i%x][1]+a[i]);
dp[i%x][0]=n0;dp[i%x][1]=n1;
}
dp[x][0]=dp[x][1]=0;
for(int i=0;i<x;i++)
dp[x][0]+=dp[i][0],dp[x][1]+=dp[i][1];
cout<<max(dp[x][0],dp[x][1])<<endl;
}
return 0;
}