符号法则及应用

2023-11-08 08:16:40

符号法则

符号语言：$ab=0\Leftrightarrow $ 自然语言：$a=0$或$b=0$；

符号语言：$ab\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：$a\neq 0$且$b\neq0$；

符号语言：$ab\ge 0\Leftrightarrow $ 自然语言：$\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}$或$\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0 \end{cases}$；

符号语言：$ab\leq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：$\begin{cases}a\ge 0\\b\leq 0 \end{cases}$或$\begin{cases}a\leq 0\\b\ge 0 \end{cases}$；

符号语言：$a^2+b^2=0\Leftrightarrow $ 自然语言：$a=0$且$b=0$； 自然语言：$a、b$全为零；

符号语言：$a^2+b^2\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：$a\neq 0$或$b\neq 0$； 自然语言：$a、b$不全为零；

用图像确定$f'(x)$的正负，确定$f(x)$的单调性，

例2【2017聊城模拟】已知函数$y=xf'(x)$的图像如图所示(其中$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数)，则下面四个图像中，$y=f(x)$的图像大致是【】

分析：由图可知，

当$x<-1$时，$y<0$，故由符号法则可知$f'(x)>0$；

当$-1<x<0$时，$y>0$，故由符号法则可知$f'(x)<0$；

当$0<x<1$时，$y<0$，故由符号法则可知$f'(x)<0$；

当$x>1$时，$y>0$，故由符号法则可知$f'(x)>0$；

从而可知当$x<-1$时，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；

当$-1<x<1$时，$f'(x)<0$，$f(x)\searrow$；

当$x>1$时，$f'(x)>0$，$f(x)\nearrow$；故选C。