【学习笔记】整除的性质

一些很显然的性质以后在摆上来，这里写一写没有那么直观的

1. 若\(a|b\)且\(a|c\)\(\Leftrightarrow\)对于任意\(x,y \in Z\),有\(a|(bx+cy)\)证明如下：

   由于\(a|b\)且\(a|c\)，不妨设\(b=ta,c=ia\),则\(bx+cy=a(tx+iy)\)得证。

2. 若\(\exists x,y\in Z\)使得\(ax+by=1\)，且\(a|n,b|n\)，则有\(ab|n\)证明如下：

   \(a|n\)且\(a|n\Leftrightarrow ab|bn,ab|an\)

   由一可得:

   \(ab|(bnx+any)\)

   \(LHS=n(bx+ay)=n \times 1=n\)

   故\(ab|LHS,LHS=n\)

   即\(ab|n\)

   证毕

3. 若\(b=qd+c\)那么\(d|b\)的充要条件是\(d|c\),证明如下:

   \(d|b \Leftrightarrow dq|bc\)

   其中\(b=dq+c\)

   所以\(b\not| \ d\)且\(a\not| \ q\)

   所以\(d|c\)。

4. \(ax+by=c\)该不定方程有整数解的充分必要条件是\((a,b)\)也就是\(gcd(a,b))|c\)证明如下：

   由二可得

   \(a'x+b'y=1\)

   两边乘以\(c\)

   \(a'cx+b'cy=c\)

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