数据结构——【二叉树】

2022-05-09 07:15:46

树的基本定义

二叉查找树的创建

二叉查找树API设计

二叉查找树代码实现

二叉树的基础遍历

二叉树的层序遍历

二叉树的最大深度问题

树的基本定义

树是由n ( n>=1 )个有限结点组成一个具有层次关系的集合。根朝上，而叶朝下。

树具有以下特点:

1.每个结点有零个或多个子结点;

2.没有父结点的结点为根结点;

3.每一个非根结点只有一个父结点;

4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树;

树的相关术语

结点的度︰

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;

叶结点∶

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点︰

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次∶

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号∶

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度∶

树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)∶

树中结点的最大层次

森林∶

m ( m>=0)个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林;给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

孩子结点:

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)∶

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点∶

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

二叉树的基本定义:

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树:

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树:

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

二叉查找树的创建

结点类API设计

数据结构——【二叉树】

代码实现

private class Node<Key,Value>{
    //存储键
    public Key key;
    //存储值
    private Value value;
    //记录左子结点
    public Node left;
    //记录右子结点
    public Node right;
    
    public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
        this.key=key;
        this.value=value;
        this.left=left;
        this.right=right;
    }
}

二叉查找树API设计

数据结构——【二叉树】

插入方法put实现思想︰

1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

2.如果当前树不为空，则从根结点开始∶

①如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点;

②如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点;

③如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想:

从根节点开始︰

1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点;

2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点;

3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想:

1.找到被删除结点;

⒉找到被删除结点右子树中的最小结点minNode

3.删除右子树中的最小结点

4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树

5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

二叉查找树代码实现

public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {
    //记录根结点
    private Node root;
    //记录树中元素的个数
    private int N;
    //获取树中元素的个数
    public int size(){
        return N;
    }
    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key,Value value){
        root=put(root,key,value);
    }
    //向指定的书中添加key-value
    private Node put(Node x,Key key,Value value){
        if(x==null){
            N++;
            return new Node(key,value,null,null);
        }
        int cmp=key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            x.right=put(x.right,key,value);
        }
        else if(cmp<0){
            x.left=put(x.right,key,value);
        }else {
            x.value=value;
        }
        return x;
    }
    //查询树中指定key的value值
    public Value get(Key key){
    return get(root,key);
    }
    public Value get(Node x,Key key){
        if(x==null){
            return null;
        }
        int cmp=key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            return get(x.right,key);
        }
        else if(cmp<0){
            return get(x.left,key);
        }else {
            return x.value;
        }
    }
    //查找整个树中最小的键
    public Key min(){
        return min(root).key;
    }
    //查找最小键所在的结点
    private Node min(Node x){
        if(x.left!=null){
            return min(x.left);
        }else {
            return x;
        }
    }
    //查找最大的键
    public Key max(){
        return max(root).key;
    }
    public Node max(Node x){
        if(x.right!=null){
            return max(x.right);
        }else{
            return x;
        }
    }
    public void delete(Key key){
        root=delete(root,key);
    }
    //删除指定结点对应的value
    public Node delete(Node x,Key key){
        if(x==null){
            return null;
        }
        int cmp=key.compareTo(x.key);
        if(cmp>0){
            //新结点的key大于当前结点，继续找当前结点的子结点
            x.right=delete(x.right,key);
        }else if(cmp<0){
            x.left=delete(x.left,key);
        }else {
            if(x.right==null){
                return x.left;
            }
            if(x.left==null){
                return x.right;
            }
            Node minNode=x.right;
            while(minNode.left!=null){
                minNode=minNode.left;
            }
            Node n=x.right;
            while(n.left!=null){
                if(n.left.left==null){
                    n.left=null;
                }else{
                    n=n.left;
                }
            }
            minNode.left=x.left;
            minNode.right=x.right;
            x=minNode;
            N--;
        }
        return x;
    }
    private class Node{
        //存储键
        public Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子结点
        public Node left;
        //记录右子结点
        public Node right;
        public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){
            this.key=key;
            this.value=value;
            this.left=left;
            this.right=right;
        }
    }
}
class Test{
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree<Integer,String> bt=new BinaryTree<>();
        bt.put(3,"龍弟");
        bt.put(2,"龙龙");
        bt.put(4,"龍帝");
        bt.put(5,"龍哥");
        System.out.println(bt.size());
        bt.put(3,"小龙");
        System.out.println(bt.get(3));
        System.out.println(bt.size());
        bt.delete(1);
        System.out.println(bt.size());
    }
}

二叉树的基础遍历

1.前序遍历;

先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树

    //使用前序遍历
    public Queue<Key> preErgodic(){
        Queue<Key> keys=new Queue<>();
        preErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    private void preErgodic(Node x,Queue<Key>keys){
        if(x==null){
            return;
        }
        //1.把当前结点的key放到队列中
        keys.enqueue(x.key);
        //2.找到当前结点的左子树，如果不为空，则递归遍历
        if(x.left!=null){
            preErgodic(x.left,keys);
        }
        //3.遍历右子树
        if(x.right!=null){
            preErgodic(x.right,keys);
        }
    }

2.中序遍历﹔

先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树

    //使用中序遍历，获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> midErgodic(){
        Queue<Key> keys=new Queue<>();
        midErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    //使用中序遍历，把指定树x中所有键放入到keys队列中
    private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if(x==null){
            return;
        }
        //1.遍历左子树
        if(x.left!=null){
            midErgodic(x.left,keys);
        }
        //2.把当前结点的key放入到队列中
        keys.enqueue(x.key);
        //3.找到当前结点的右子树，若不为空，递归遍历右子树
        if(x.right!=null){
            midErgodic(x.right,keys);
        }
    }

3.后序遍历﹔

先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

    //使用后序遍历，获取整个树中的所有键
    public Queue<Key> afterErgodic(){
        Queue<Key> keys=new Queue<>();
        afterErgodic(root,keys);
        return keys;
    }
    private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
        if(x==null){
            return;
        }
        //1.遍历左子树
        if(x.left!=null){
            afterErgodic(x.left,keys);
        }
        //2.遍历右子树
        if(x.right!=null){
            afterErgodic(x.right,keys);
        }
        //3.放入到队列中
        keys.enqueue(x.key);
    }

二叉树的层序遍历

数据结构——【二叉树】

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值。

实现步骤:

1.创建队列，存储每一层的结点;

⒉.使用循环从队列中弹出一个结点:

①获取当前结点的key ;

②如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

③如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

    //层序遍历
    public Queue<Key> layerErgodic(){
        Queue<Key> keys=new Queue<>();
        Queue<Node> nodes=new Queue<>();
        nodes.enqueue(root);
        while(!nodes.isEmpty()){
            Node x=nodes.dequeue();
            keys.enqueue(x.key);
            if(x.left!=null){
                nodes.enqueue(x.left);
            }
            if(x.right!=null){
                nodes.enqueue(x.right);
            }
        }
        return keys;
    }

二叉树的最大深度问题

    //树的最大深度
    public int maxDepth(){
        return maxDepth(root);
    }
    private int maxDepth(Node x){
        //1.如果根结点为空，则最大深度为0
        if(x==null){
            return 0;
        }
        int max=0;
        int maxL=0;
        int maxR=0;
        //2.计算左子树的最大深度
        if(x.left!=null){
            maxL=maxDepth(x.left);
        }
        //3.计算右子树的最大深度
        if (x.right!=null){
            maxR=maxDepth(x.right);
        }
        //4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

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