第三章：张量分析与黎曼几何

  广义相对论的数学语言是微分几何。微分几何用来描述“流形”：局部可以看做欧几里得空间，而全局形状则可能比较复杂。 N N N维欧几里得空间 R n \mathcal R^n Rn本身就是最简单的一种 N N N维流形

  数学上， N N N维流形可以写作 { M , { U α , Φ α } } \{\mathcal M,\{U_\alpha,\Phi_\alpha\}\} {M,{Uα​,Φα​}}。其中， M \mathcal M M是一组点的集合， { U α } \{U_\alpha\} {Uα​}是 M \mathcal M M中开集的集合：
M = ⋃ α U α \mathcal M = \bigcup\limits_\alpha U_\alpha M=α⋃​Uα​
   Φ α \Phi_\alpha Φα​是将 ( U α ) (U_\alpha) (Uα​)映射到 N N N维欧氏空间 R n \mathcal R^n Rn的可微函数： U α → R n U_\alpha\rightarrow \mathcal R^n Uα​→Rn。对于 M \mathcal M M上每一点 p p p，至少存在一个 ( U α ) (U_\alpha) (Uα​)使得 p ∈ U α p\in U_\alpha p∈Uα​。这样就说 Φ α \Phi_\alpha Φα​定义了点 p p p的邻域 U α U_\alpha Uα​上的一个局域坐标系

1、n维仿射空间中的张量

  仿射空间是没有起点，只有方向和大小的向量所构成的向量空间

  相对论将物理规律表述为张量方程，使得在任一坐标下都具有相同的形式

张量与张量变换

坐标

   n n n维空间中，一个点用 n n n个数组成的数组来描述，称为该点的坐标：
x μ = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) x^\mu=(x^1,x^2,\cdots ,x^n) xμ=(x1,x2,⋯,xn)

坐标变换

  考虑两组坐标系 x ~ μ \tilde x^\mu x~μ和 x μ x^\mu xμ，它们之间具备联系： x ~ μ = x ~ μ ( x ) \tilde x^\mu = \tilde x^\mu (x) x~μ=x~μ(x)，其中 x x x代表数组 x μ x^\mu xμ。从这个联系中可以导出任一点的坐标微分的变换公式：
d x ~ μ = ∂ x ~ μ ∂ x α d x α d\tilde x^\mu=\frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\alpha}dx^\alpha dx~μ=∂xα∂x~μ​dxα
  这样就得到了变换矩阵。对于逆变情况而言，变换矩阵为 ∂ x ~ M ∂ x α \dfrac{\partial \tilde x^M}{\partial x^\alpha} ∂xα∂x~M​，而对于协变情况而言，变换矩阵为 ∂ x α ∂ x ~ M \dfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde{x}^M} ∂x~M∂xα​

  说明：

  （1）由此式可见， d x μ dx^\mu dxμ和 d x ~ μ d\tilde x^\mu dx~μ之间是线性变换，但并不说明 x μ x^\mu xμ与 x ~ μ \tilde x^\mu x~μ之间也是线性变换

  （2）变换矩阵随不同的点而不同

  （3）若 det ⁡ ∣ ∂ x ~ μ ∂ x ν ∣ ≠ 0 \det\left|\dfrac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\nu}\right|\neq 0 det∣∣∣∣​∂xν∂x~μ​∣∣∣∣​​=0或者 ∞ \infty ∞，则存在逆变换，即 d x α = ∂ x α ∂ x ~ μ d x ~ μ dx^\alpha=\dfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}d\tilde x^\mu dxα=∂x~μ∂xα​dx~μ。这两个变换矩阵满足关系：
∂ x ~ μ ∂ x α ∂ x α ∂ x ~ ν = δ ν μ ,   ∂ x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ μ ∂ x β = δ β α \frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\nu}=\delta^\mu_\nu,\ \frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\beta}=\delta^\alpha_\beta ∂xα∂x~μ​∂x~ν∂xα​=δνμ​, ∂x~μ∂xα​∂xβ∂x~μ​=δβα​

逆变张量

  （1）零阶（标量）：有 n 0 n^0 n0个分量，并且在坐标变换下不变，即： T ~ ( x ~ ) = T ( x ) \tilde T(\tilde x)=T(x) T~(x~)=T(x)。其中， T T T为坐标 x μ x^\mu xμ下的值， x x x和 x ~ \tilde x x~是同一点的两组不同的坐标

  （2）一阶（逆变矢量）：有 n 1 n^1 n1个分量，并且在坐标变换下具有如下变换形式：
T ~ μ ( x ~ μ ) = ∂ x ~ μ ∂ x α T α ( x μ ) \tilde T^\mu(\tilde x^\mu)=\dfrac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\alpha}T^\alpha(x^\mu) T~μ(x~μ)=∂xα∂x~μ​Tα(xμ)
  坐标微分 d x μ dx^\mu dxμ是一个逆变矢量

  （3）二阶：有 n 2 n^2 n2个分量，并且在坐标变换下具有如下变换形式：
T ~ μ ν ( x ~ μ ) = ∂ x ~ μ ∂ x α ∂ x ~ ν ∂ x β T α β ( x μ ) \tilde T^{\mu\nu}(\tilde x^\mu)=\frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial \tilde x^\nu}{\partial x^\beta}T^{\alpha\beta}(x^\mu) T~μν(x~μ)=∂xα∂x~μ​∂xβ∂x~ν​Tαβ(xμ)
  （4）高阶以此类推

协变张量

  （1）零阶（标量）：与逆变相同

  （2）一阶（协变矢量）：
T ~ μ ( x ~ μ ) = ∂ x α ∂ x ~ μ T α ( x μ ) \tilde T_\mu(\tilde x^\mu)=\dfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}T_\alpha(x^\mu) T~μ​(x~μ)=∂x~μ∂xα​Tα​(xμ)
  （3）二阶：
T ~ μ ν ( x ~ μ ) = ∂ x α ∂ x ~ μ ∂ x β ∂ x ~ ν T α β ( x μ ) \tilde T_{\mu\nu}(\tilde x^\mu)=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial \tilde x^\nu}T_{\alpha\beta}(x^\mu) T~μν​(x~μ)=∂x~μ∂xα​∂x~ν∂xβ​Tαβ​(xμ)
  （4）高阶以此类推

混合张量

  （1） T μ ν {T^\mu}_\nu Tμν​满足变换规则：
T ~ μ ν = ∂ x ~ μ ∂ x α ∂ x β ∂ x ~ ν T α β {\tilde T^\mu}_\nu=\frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\beta}{\partial \tilde x^\nu}{T^\alpha}_\beta T~μν​=∂xα∂x~μ​∂x~ν∂xβ​Tαβ​
  （2） T β 1 , β 2 , … , β q α 1 , α 2 , … , α p T^{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p}_{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q} Tβ1​,β2​,…,βq​α1​,α2​,…,αp​​称为 ( p , q ) (p,q) (p,q)阶张量

  一个数组是否构成张量，在于它们在坐标变换下的变换行为

张量运算

  （1）由于张量变换矩阵在不同点是不同的，所以只有在同一点的两个张量进行运算，才能保证计算结果还是张量。标量是例外

  （2）张量的加法与减法：相应的分量相加或者相减，因此两个张量必须同阶，运算结果仍然是张量。例如： C ν μ = A ν μ ± B ν μ C^\mu_\nu=A^\mu_\nu\pm B^\mu_\nu Cνμ​=Aνμ​±Bνμ​

  （3）张量的乘法（外乘/直乘）：例如， ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)阶 A ν μ A^\mu_\nu Aνμ​与 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)阶 B μ B^\mu Bμ外乘定义为： C λ μ ν ≡ A λ μ B ν C^{\mu\nu}_\lambda\equiv A^\mu_\lambda B^\nu Cλμν​≡Aλμ​Bν，得到 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1)阶张量。 ( p 1 , q 1 ) (p_1,q_1) (p1​,q1​)阶张量与 ( p 2 , q 2 ) (p_2,q_2) (p2​,q2​)阶张量外乘得到 ( p 1 + p 2 , q 1 + q 2 ) (p_1+p_2,q_1+q_2) (p1​+p2​,q1​+q2​)阶张量

  （4）缩并：对于混合张量的某一对上下指标取相同的值并求和，例如 C ν = A λ λ ν C^\nu=A^{\lambda\nu}_\lambda Cν=Aλλν​，或者 D μ = A λ μ λ D^\mu=A^{\mu\lambda}_\lambda Dμ=Aλμλ​。一般来讲， ( p , q ) (p,q) (p,q)阶张量缩并一次得到 ( p − 1 , q − 1 ) (p-1,q-1) (p−1,q−1)阶张量

  矢量的内积=外乘+缩并，即 C = A μ B μ C=A^\mu B_\mu C=AμBμ​，结果是一个标量，但必须是一个协变矢量和一个逆变矢量才能进行

  （5）张量不能定义除法运算，但如果有协变关系式，如 A μ = B ν μ C ν A^\mu=B^\mu_\nu C^\nu Aμ=Bνμ​Cν，且已知 A μ A^\mu Aμ， B ν μ B^\mu_\nu Bνμ​均为张量，则能证明 C ν C^\nu Cν也是张量（商定理）

张量的对称性

  以二阶逆变张量 T μ ν T^{\mu\nu} Tμν为例：

  （1）若 T μ ν = T ν μ T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu} Tμν=Tνμ，则称张量 T μ ν T^{\mu\nu} Tμν对指标 μ , ν \mu,\nu μ,ν对称

  （2）若 T μ ν = − T ν μ T^{\mu\nu}=-T^{\nu\mu} Tμν=−Tνμ，则称张量 T μ ν T^{\mu\nu} Tμν对指标 μ , ν \mu,\nu μ,ν反对称

  （3）若 T μ ν T^{\mu\nu} Tμν在坐标 x μ x^\mu xμ中对称，那么在另一任意坐标系 x ~ μ \tilde x^\mu x~μ中也对称

  （4）上述所有讨论对协变张量也成立

  （5）上述讨论对混合张量不成立。即便混合张量在一个坐标系下对称，在另一个坐标系中也不一定对称。在提到张量的对称性时，必须是两个上指标或者两个下指标，而不能是一上一下

  （6）任一不对称的二阶逆变（协变）张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：
T μ ν = S μ ν + A μ ν T^{\mu\nu}=S^{\mu\nu}+A^{\mu\nu} Tμν=Sμν+Aμν
  其中：
S μ ν = 1 2 ( T μ ν + T ν μ ) ≡ T ( μ ν ) A μ ν = 1 2 ( T μ ν − T ν μ ) ≡ T [ μ ν ] S^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(T^{\mu\nu}+T^{\nu\mu})\equiv T^{(\mu\nu)}\\ A^{\mu\nu}=\frac{1}{2}(T^{\mu\nu}-T^{\nu\mu})\equiv T^{[\mu\nu]} Sμν=21​(Tμν+Tνμ)≡T(μν)Aμν=21​(Tμν−Tνμ)≡T[μν]
  （7）对于高阶对称张量，是指其对任一对上下指标都是对称的。同理，对于高阶反对称张量，是指其对任一对上（下）指标都是反对称的，例如：
T μ ν λ = T μ λ ν = T λ ν μ = T ν μ λ → T μ ν λ 对 称 T μ ν λ = − T μ λ ν = − T λ ν μ = − T ν μ λ → T μ ν λ 反 对 称 T^{\mu\nu\lambda}=T^{\mu\lambda\nu}=T^{\lambda\nu\mu}=T^{\nu\mu\lambda}\rightarrow T^{\mu\nu\lambda}对称\\ T^{\mu\nu\lambda}=-T^{\mu\lambda\nu}=-T^{\lambda\nu\mu}=-T^{\nu\mu\lambda}\rightarrow T^{\mu\nu\lambda}反对称 Tμνλ=Tμλν=Tλνμ=Tνμλ→Tμνλ对称Tμνλ=−Tμλν=−Tλνμ=−Tνμλ→Tμνλ反对称
  （8）张量的对称化：对于任何一个张量，总是可以将其一定数目的上指标（或下指标）对称化：
T ( μ 1 μ 2 ⋯   ) σ ρ = 1 n ! ( T μ 1 μ 2 ⋯ ρ σ + 遍 历 μ 1 ⋯ μ n 置 换 的 求 和 ) {{T_{(\mu_1\mu_2\cdots)}}^\sigma}_\rho=\frac{1}{n!}({T_{\mu_1\mu_2\cdots\rho}}^\sigma+遍历\mu_1\cdots\mu_n置换的求和) T(μ1​μ2​⋯)​σρ​=n!1​(Tμ1​μ2​⋯ρ​σ+遍历μ1​⋯μn​置换的求和)
  例如：
T ( μ ∣ ν ∣ ρ ) = 1 2 ( T μ ν ρ + T ρ ν μ ) T_{(\mu|\nu|\rho)}=\frac{1}{2}(T_{\mu\nu\rho}+T_{\rho\nu\mu}) T(μ∣ν∣ρ)​=21​(Tμνρ​+Tρνμ​)
  ？？？

  （9）张量的反对称化：对于任何一个张量，总是可以将其一定数目的上指标（或下指标）反对称化：
T [ μ 1 μ 2 ⋯   ] ρ σ = 1 n ! ( T μ 1 μ 2 ⋯ ρ σ + 遍 历 μ 1 ⋯ μ n 置 换 的 带 符 号 求 和 ) {T_{[\mu_1\mu_2\cdots]\rho}}^\sigma=\frac{1}{n!}({T_{\mu_1\mu_2\cdots\rho}}^\sigma+遍历\mu_1\cdots\mu_n置换的带符号求和) T[μ1​μ2​⋯]ρ​σ=n!1​(Tμ1​μ2​⋯ρ​σ+遍历μ1​⋯μn​置换的带符号求和)
  其中，带符号的意思是做了奇数次对易后，该项前面加上一个负号，例如：
T [ μ ν ρ ] σ = 1 6 ( T μ ν ρ σ − T μ ρ ν σ + T ρ μ ν σ − T ν μ ρ σ + T ν ρ μ σ − T ρ ν μ σ ) T_{[\mu\nu\rho]\sigma}=\frac{1}{6}(T_{\mu\nu\rho\sigma}-T_{\mu\rho\nu\sigma}+T_{\rho\mu\nu\sigma}-T_{\nu\mu\rho\sigma}+T_{\nu\rho\mu\sigma}-T_{\rho\nu\mu\sigma}) T[μνρ]σ​=61​(Tμνρσ​−Tμρνσ​+Tρμνσ​−Tνμρσ​+Tνρμσ​−Tρνμσ​)

2、矢量的平移，仿射联络，张量的协变微分

仿射联络的定义

  设 P P P点有协变张量 A μ ( P ) A_\mu(P) Aμ​(P)，将其平移至 Q Q Q点（ P P P与 Q Q Q离的很近），记作 A μ ( P → Q ) A_\mu(P\rightarrow Q) Aμ​(P→Q)

  作为线性理论，平移引起的改变记作 δ A μ ( P ) \delta A_\mu(P) δAμ​(P)，要求：

  （1）它正比于 A μ ( P ) A_\mu(P) Aμ​(P)

  （2）它正比于 d x μ dx^\mu dxμ

  因此， δ A μ ( P ) \delta A_\mu(P) δAμ​(P)应该具有如下表达式：
δ A μ ( P ) ≡ A μ ( P → Q ) − A μ ( P ) = Γ μ ν λ ( P ) A λ ( P ) d x ν \delta A_\mu(P)\equiv A_\mu(P\rightarrow Q)-A_\mu(P)=\Gamma^\lambda_{\mu\nu}(P)A_\lambda(P)dx^\nu δAμ​(P)≡Aμ​(P→Q)−Aμ​(P)=Γμνλ​(P)Aλ​(P)dxν
  此处的比例系数 Γ μ ν λ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} Γμνλ​就叫做 P P P点的“仿射联络”

  同时要求：

  （3） A μ ( P → Q ) A_\mu(P\rightarrow Q) Aμ​(P→Q)在 Q Q Q点是协变张量

仿射联络的坐标变换关系

  出发点： A μ ( P → Q ) A_\mu(P\rightarrow Q) Aμ​(P→Q)是张量

   A ~ μ ( P → Q ) = ( ∂ x α ∂ x ~ μ ) Q A μ ( P → Q ) \tilde A_\mu(P\rightarrow Q)=\left(\dfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\right)_QA_\mu(P\rightarrow Q) A~μ​(P→Q)=(∂x~μ∂xα​)Q​Aμ​(P→Q)

   P P P与 Q Q Q相邻，所以可以用泰勒展开
( ∂ x α ∂ x ~ μ ) Q = ( ∂ x α ∂ x ~ μ ) P + ( ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν ) d x ~ ν = ( ∂ x α ∂ x ~ μ ) P + ( ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν ) P ( ∂ x ~ ν ∂ x σ ) P d x σ \begin{aligned} \left(\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\right)_Q&=\left(\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\right)_P+\left(\frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu\partial \tilde x^\nu}\right)d\tilde x^\nu\\ &=\left(\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\right)_P+\left(\frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu\partial \tilde x ^\nu}\right)_P\left(\frac{\partial \tilde x^\nu}{\partial x^\sigma}\right)_P dx^\sigma \end{aligned} (∂x~μ∂xα​)Q​​=(∂x~μ∂xα​)P​+(∂x~μ∂x~ν∂2xα​)dx~ν=(∂x~μ∂xα​)P​+(∂x~μ∂x~ν∂2xα​)P​(∂xσ∂x~ν​)P​dxσ​
  得到：
A ~ μ + Γ ~ μ ν λ A ~ λ d x ~ ν = ( ∂ x α ∂ x ~ μ + ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν ∂ x ~ ν ∂ x σ d x σ ) ( A α + Γ α γ β A β d x γ ) = ∂ x α ∂ x ~ μ A α + ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν ∂ x ~ ν ∂ x σ d x σ A α + ∂ x α ∂ x ~ μ Γ α γ β A β d x γ + O ( 2 ) \begin{aligned} \tilde A_\mu+\tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\tilde A_\lambda d\tilde x^\nu&=\left(\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}+\frac{\partial ^2 x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu\partial \tilde x^\nu}\frac{\partial \tilde x^\nu}{\partial x^\sigma}dx^\sigma\right)(A_\alpha+\Gamma^\beta_{\alpha\gamma}A_\beta dx^\gamma)\\ &=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}A_\alpha+\frac{\partial ^2 x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu\partial \tilde x^\nu}\frac{\partial \tilde x^\nu}{\partial x ^\sigma}dx^\sigma A_\alpha +\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\Gamma^\beta_{\alpha\gamma}A_\beta dx^\gamma + O(2) \end{aligned} A~μ​+Γ~μνλ​A~λ​dx~ν​=(∂x~μ∂xα​+∂x~μ∂x~ν∂2xα​∂xσ∂x~ν​dxσ)(Aα​+Γαγβ​Aβ​dxγ)=∂x~μ∂xα​Aα​+∂x~μ∂x~ν∂2xα​∂xσ∂x~ν​dxσAα​+∂x~μ∂xα​Γαγβ​Aβ​dxγ+O(2)​
  最后得到仿射联络的变换公式：
Γ ~ μ ν λ = ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν ∂ x ~ λ ∂ x α + ∂ x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ λ ∂ x β ∂ x γ ∂ x ~ ν Γ α γ β \tilde\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{\partial ^2 x^\alpha}{\partial\tilde x^\mu \partial \tilde x^\nu}\frac{\partial\tilde x^\lambda}{\partial x^\alpha}+\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\frac{\partial \tilde x^\lambda}{\partial x^\beta}\frac{\partial x^\gamma}{\partial \tilde x^\nu}\Gamma^\beta_{\alpha\gamma} Γ~μνλ​=∂x~μ∂x~ν∂2xα​∂xα∂x~λ​+∂x~μ∂xα​∂xβ∂x~λ​∂x~ν∂xγ​Γαγβ​

仿射联络的性质

  （1）对于逆变矢量 A μ ( P ) A^\mu(P) Aμ(P)，可以证明：
A μ ( P → Q ) = A μ ( P ) + δ A μ = A μ ( P ) − Γ λ ν μ ( P ) A λ ( P ) d x ν A^\mu(P\rightarrow Q)=A^\mu(P)+\delta A^\mu=A^\mu(P)-\Gamma^\mu_{\lambda\nu}(P)A^\lambda(P)dx^\nu Aμ(P→Q)=Aμ(P)+δAμ=Aμ(P)−Γλνμ​(P)Aλ(P)dxν
  （2） Γ μ ν λ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} Γμνλ​不是张量，除非（？？？）

  （3）容易得到：若同一仿射空间中引入两个联络 1 Γ μ ν λ _1\Gamma^\lambda_{\mu\nu} 1​Γμνλ​和 2 Γ μ ν λ _2\Gamma^\lambda_{\mu\nu} 2​Γμνλ​，则其差是一个 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)阶张量

  （4）容易得到：若联络的两个下指标不对称，那么将其变换顺序构成的新的量也是联络

  （5）联络的对称组合也是联络，即： Γ ( μ ν ) λ ≡ 1 2 ( Γ μ ν λ − Γ ν μ λ ) \Gamma^\lambda_{(\mu\nu)}\equiv\dfrac{1}{2}(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda_{\nu\mu}) Γ(μν)λ​≡21​(Γμνλ​−Γνμλ​)是联络

  （6）联络的反对称组合是一个张量，即： Γ [ μ ν ] λ ≡ 1 2 ( Γ μ ν λ − Γ ν μ λ ) \Gamma^\lambda_{[\mu\nu]}\equiv\dfrac{1}{2}(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda_{\nu\mu}) Γ[μν]λ​≡21​(Γμνλ​−Γνμλ​)是一个张量，称为“挠率张量”。挠率张量表征了空间的扭曲程度，它的绝对值度量了曲线上相邻两点的次法向量（与 P P P点的切向及法向量都垂直的向量）之间的夹角对弧长的变化率

  （7）任一联络，总可以作如下分解：
Γ μ ν λ ≡ Γ ( μ ν ) λ + Γ [ μ ν ] λ \Gamma^\lambda_{\mu\nu}\equiv \Gamma^\lambda_{(\mu\nu)}+\Gamma^\lambda_{[\mu\nu]} Γμνλ​≡Γ(μν)λ​+Γ[μν]λ​

张量的协变微分

标量的协变微分

  标量场的微商： T ( x ) T(x) T(x)对 x μ x^\mu xμ的普通微商，记作 T , μ T_{,\mu} T,μ​，即：
T , μ ≡ ∂ T ∂ x μ T_{,\mu}\equiv\frac{\partial T}{\partial x^\mu} T,μ​≡∂xμ∂T​
  作如下坐标变化：
T ~ , μ ≡ ∂ T ~ ∂ x ~ μ = ∂ T ~ ∂ x α ∂ x α ∂ x ~ μ = ∂ T ∂ x α ∂ x α ∂ x ~ μ = T , α ∂ x α ∂ x ~ μ \tilde T_{,\mu}\equiv \frac{\partial\tilde T}{\partial \tilde x^\mu}=\frac{\partial \tilde T}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}=\frac{\partial T}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}=T_{,\alpha}\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu} T~,μ​≡∂x~μ∂T~​=∂xα∂T~​∂x~μ∂xα​=∂xα∂T​∂x~μ∂xα​=T,α​∂x~μ∂xα​
  因此 T , α T_{,\alpha} T,α​是 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)阶张量，将其记作：
T ; μ ≡ T , μ T_{;\mu}\equiv T_{,\mu} T;μ​≡T,μ​
  即标量的协变微商就是其普通微商

协变矢量的协变微分

  协变矢量微分后不是张量：
∂ T μ ∂ x ν → ∂ T ~ μ ∂ x ~ ν = ∂ 2 x α ∂ x ~ μ ∂ x ~ ν T α + ∂ x α ∂ x ~ μ ∂ x β ∂ x ~ ν ∂ T α ∂ x β \frac{\partial T_\mu}{\partial x^\nu}\rightarrow \frac{\partial \tilde T_\mu}{\partial \tilde x^\nu}=\frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial\tilde x^\mu\partial \tilde x^\nu}T_\alpha+\frac{\partial x^\alpha}{\partial \tilde x^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial \tilde x^\nu}\frac{\partial T_\alpha}{\partial x^\beta} ∂xν∂Tμ​​→∂x~ν∂T~μ​​=∂x~μ∂x~ν∂2xα​Tα​+∂x~μ∂xα​∂x~ν∂xβ​∂xβ∂Tα​​
  上式中，右侧的第一项就不是张量

  按原有的定义：
T μ , ν ≡ lim ⁡ Q → P T μ ( Q ) − T μ ( P ) Δ x ν T_{\mu,\nu}\equiv \lim\limits_{Q\rightarrow P}\frac{T_\mu(Q)-T_\mu(P)}{\Delta x^\nu} Tμ,ν​≡Q→Plim​ΔxνTμ​(Q)−Tμ​(P)​
   T μ ( P ) T_\mu(P) Tμ​(P)不是张量。为了让微商后仍然是张量，定义“协变微商”：
T μ ; ν ≡ lim ⁡ Q → P T μ ( Q ) − T ν ( P → Q ) Δ x ν T_{\mu;\nu}\equiv\lim\limits_{Q\rightarrow P}\frac{T_\mu(Q)-T_\nu(P\rightarrow Q)}{\Delta x^\nu} Tμ;ν​≡Q→Plim​ΔxνTμ​(Q)−Tν​(P→Q)​
  在该定义中，分子是张量，分母（ d x μ dx^\mu dxμ）也是张量，根据商定理， T μ ; ν T_{\mu;\nu} Tμ;ν​也是张量：
T μ ; ν ≡ lim ⁡ Q → P T μ ( Q ) − T ν ( P → Q ) Δ x ν = lim ⁡ Q → P ( T μ ( Q ) − T ν ( P ) Δ x ν + T μ ( P ) − T ν ( P → Q ) Δ x ν ) = T μ , ν − Γ μ ν λ T λ \begin{aligned} T_{\mu;\nu}&\equiv \lim\limits_{Q\rightarrow P}\frac{T_\mu(Q)-T_\nu(P\rightarrow Q)}{\Delta x^\nu}\\ &=\lim\limits_{Q\rightarrow P}\left(\frac{T_\mu(Q)-T_\nu(P)}{\Delta x^\nu}+\frac{T_\mu(P)-T_\nu(P\rightarrow Q)}{\Delta x^\nu}\right)\\ &=T_{\mu,\nu}-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}T_\lambda \end{aligned} Tμ;ν​​≡Q→Plim​ΔxνTμ​(Q)−Tν​(P→Q)​=Q→Plim​(ΔxνTμ​(Q)−Tν​(P)​+ΔxνTμ​(P)−Tν​(P→Q)​)=Tμ,ν​−Γμνλ​Tλ​​
  即：
T μ ; ν = T μ , ν − Γ μ ν λ T λ T_{\mu;\nu}=T_{\mu,\nu}-\Gamma^\lambda_{\mu\nu}T_\lambda Tμ;ν​=Tμ,ν​−Γμνλ​Tλ​

乘法规则

  规定协变微商满足乘法规则：
( A ⋯ ⋯ B ⋯ ⋯   ) ; λ = ( A ⋯   ; λ ⋯ ) B ⋯ ⋯ + A ⋯ ⋯ ( B ⋯   ; λ ⋯ ) (A^\cdots_\cdots B^\cdots_\cdots)_{;\lambda}=(A^\cdots_{\cdots;\lambda})B^\cdots_\cdots+A^\cdots_\cdots(B^\cdots_{\cdots ;\lambda}) (A⋯⋯​B⋯⋯​);λ​=(A⋯;λ⋯​)B⋯⋯​+A⋯⋯​(B⋯;λ⋯​)

任意阶张量的协变微商公式

  利用上面得出的结论，可以推导出任意阶张量的协变微商公式，例如：
A ; λ μ = A , λ μ + Γ α λ μ A α T ν ; λ μ = T ν , λ μ + Γ ρ λ μ T ν ρ − Γ ν λ ρ T ρ μ T ; λ μ ν = T , λ μ ν + Γ ρ λ μ T ρ ν + Γ ρ λ ν T μ ρ T μ ν ; λ = T μ ν , λ − Γ μ λ ρ T ρ ν − Γ ν λ ρ T μ ρ \begin{aligned} A^\mu_{;\lambda}&=A^\mu_{,\lambda}+\Gamma^\mu_{\alpha\lambda}A^\alpha\\ T^\mu_{\nu;\lambda}&=T^\mu_{\nu,\lambda}+\Gamma^\mu_{\rho\lambda}T^\rho_\nu-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}T^\mu_\rho\\ T^{\mu\nu}_{;\lambda}&=T^{\mu\nu}_{,\lambda}+\Gamma^\mu_{\rho\lambda}T^{\rho\nu}+\Gamma^\nu_{\rho\lambda}T^{\mu\rho}\\ T_{\mu\nu;\lambda}&=T_{\mu\nu,\lambda}-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}T_{\rho\nu}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}T_{\mu\rho} \end{aligned} A;λμ​Tν;λμ​T;λμν​Tμν;λ​​=A,λμ​+Γαλμ​Aα=Tν,λμ​+Γρλμ​Tνρ​−Γνλρ​Tρμ​=T,λμν​+Γρλμ​Tρν+Γρλν​Tμρ=Tμν,λ​−Γμλρ​Tρν​−Γνλρ​Tμρ​​
  在进行微商时，每一个上指标都按照逆变张量的微商那样操作一次，而每一个下指标则按照协变张量的微商那样操作一次