前情提要：拉格朗日对偶问题

为什么费尽周折的去转化成对偶问题呢？
因为无论原问题是否为凸优化问题，转化成的对偶问题一定是凸优化问题
为什么要转化成凸优化问题就不必多说了，具体可看凸优化问题的特性：局部最优解必是全局最优解

再看一次对偶问题

\[\begin{align} \max_{\lambda,\nu}g(\lambda,\nu)=&\max_{\lambda,\nu}\min_{x}L(x,\lambda,\nu)\\ =&\max_{\lambda,\nu} f_0(x)+\sum_{i=1}^k \lambda f_i(x)+\sum_{i=1}^l \nu h_i(x)\\ \end{align} \]

此时已经对\(x\)最小化过,x为定值,变量为\(\lambda\)和\(\nu\), 那么上式则为仿射函数
对偶问题一定是凹函数,再加个负号就变为凸函数了,那么对偶问题一定是凸优化问题

数学证明可以看这个博客