最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

GCD(欧几里德算法)

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数 a，b 的最大公约数。

辗转相除法的关键在于如下恒等式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。它的边界条件是 gcd(a,0) = a;
我们可以得到如下程序

int gcd(int a, int b){
	return b == 0?a:gcd(b, a % b);
}

我们也可以直接使用C++的内置函数。
在头文件 algorithm 中

#include <algorithm>
int gcd(int a,int b){
	return __gcd(a,b);
}

gcd函数的递归层数不超过 4.7851gN + 1.6723，其中 N = max(a,b)。所以不会栈溢出。

最小公倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

LCM

利用 gcd 还可以求出两个整数的最小公倍数 lcm(a,b)。
由一分定理得：

• gcd(a,b) * lcm(a,b) = a*b

我们可以得到如下程序

int gcd(int a, int b){
	return b == 0?a:gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b){
	return a/gcd(a,b)*b;
}

注意：在这里不能写成 a * b/gcd(a,b) 因为 a*b 可能会产生溢出。而先除后乘可以避免这种情况发生。