题目大意

求：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[\operatorname{lcm}(i,j)=i \times j] \]

\(T\) 组数据。

\(1 \leq T \leq 1000,1 \leq n,m \leq 10^9\)。

解题思路

首先，根据题意，有 \(\operatorname{lcm}(i,j)=\frac{i\times j}{\gcd(i,j)}=i \times j\)。

所以当且仅当 \(\gcd(i,j)=1\) 时，\((i,j)\) 才是满足题意的一组解。

所以原式可推为：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=1] \]

根据：

\[\sum\limits_{d|n} \mu(d) = \begin{cases} 1 && n=1 \\ 0 && n \ne 1\end{cases} \]

有：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{x|j}\mu(x) \]

上式可变为：

\[\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[x|i][x|j] \]

那么有：

\[\sum\limits_{x=1}^{n}\mu(x)\left\lfloor\frac{n}{x}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{x}\right\rfloor \]

数论分块即可 \(\mathcal O(n)\) 预处理，\(\mathcal O(\sqrt n)\) 单次询问。

关于莫比乌斯函数的数论分块可参考我的博客 浅谈莫比乌斯反演。

CODE

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int maxn = 1000000 + 10;

ll n, m, prim[maxn], vis[maxn], mu[maxn], cnt, ans;

void init(ll n)
{
    ll i, j;
    mu[1] = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prim[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (j = 1; i * prim[j] <= n && j <= cnt; j++)
        {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if (i % prim[j] == 0)
                break;
            mu[i * prim[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (i = 1; i <= n; i++)
        mu[i] += mu[i - 1];
}

signed main()
{
    init(1000000);
    ll T, l, r;
    scanf("%lld", &T);
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        if (n > m)
            swap(n, m);
        ans = 0;
        for (l = 1; l <= n; l = r + 1)
        {
            r = min(n / (n / l), m / (m / l));
            ans += (n / l) * (m / l) * (mu[r] - mu[l - 1]);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}