补充知识：
要理解Gauss消去法，首先来看一个例子：
从上例子可以看出，高斯消去法实际上就是我们初中学的阶二元一次方程组，只不过那里的未知数个数$n=2$
$n>2$时，Gauss消去法的思路实际上和解二元一次方程组是一样的，方法如下：
- 将$n$方程组中的$n-1$个方程通过消元，形成一个与原方程组等价的一个新方程组，新方程组中的$n-1$个方程仅包含$n-1$个未知数。
- 故问题就转化为了求解$n-1$元的方程组，这样我们可以继续消元，以次类推，直到最后一个方程组为一元一次方程组
- 从最后一个一元一次方程组求解出最后一个未知量，然后逐步回代入之前的方程组，从而得到所有的未知数。
- 我们可以看到Gauss实际上就分为两步：消去和回代
下面通过一般化得到Gauss消元法的求解过程
以上就是Gauss消去法的基本步骤，我们再回过头看看有没有什么问题？
我们在求比例$l_{ik}= \frac{a_{ik}^{\left (k-1 \right )}}{a_{kk}^{\left (k-1 \right )}}$时，如果分母很小，即：
$l_{ik}\rightarrow \infty$，那么
总结一下，能否使用Gauss消元法的情况
为了解决这个问题，我们可以使用列主元Gauss消元法。
参考了一些网上的代码，这里给出Gauss的Java实现
package peterxiazhe;
import java.util.Scanner;
public class Gauss {
/**
* 列主元高斯消去法
*/
static double A[][];
static double b[];
static double x[];
static int n; //n表示未知数的个数
static int n_2; //记录换行的次数
public static void main(String[] args) {
System.out.println("--------------输入方程组未知数的个数---------------");
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
A = new double[n][n];
b = new double[n];
x = new double[n];
System.out.println("--------------输入方程组的系数矩阵A:---------------");
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
A[i][j] = sc.nextDouble();
}
}
System.out.println("--------------输入方程组的常量向量b:---------------");
for(int i = 0; i < n; i++) {
b[i] = sc.nextDouble();
}
Elimination();
BackSubstitution();
PrintRoot();
}
//消元法
public static void Elimination() {
PrintA();
for(int k = 0; k < n; k++) {
WrapRow(k);
for(int i = k+1; i < n; i++) {
double l = A[i][k] / A[k][k];
A[i][k] = 0;
for(int j = k+1; j < n; j++) {
A[i][j] = A[i][j] - l * A[k][j];
}
b[i] = b[i] - l * b[k];
}
//System.out.println("第" + k + "次消元后:");
//PrintA();
}
}
//回代法
public static void BackSubstitution() {
x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1];
for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
x[i] = (b[i] - solve(i)) / A[i][i];
}
}
public static double solve(int i) {
double result = 0.0;
for(int j = i; j < n; j++)
result += A[i][j] * x[j];
return result;
}
//输出方程组的根
public static void PrintRoot() {
System.out.println("--------------方程组的根为---------------");
for(int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println("x" + (i+1) + " = " + x[i]);
}
}
//交换Swap函数???
public static void Swap(double[] ar, int x, int y) {
Double tmp = ar[x];
ar[x] = ar[y];
ar[y] = tmp;
}
public static void PrintA() { //输出A的增广矩阵
//System.out.println("--------------增广矩阵---------------");
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
System.out.print(A[i][j] + " ");
}
System.out.println(b[i]);
}
}
//交换矩阵的行
public static void WrapRow(int k) { //k表示第k+1轮消元
double maxElement = Math.abs(A[k][k]);
int WrapRowIndex = k; // 记住要交换的行
for(int i = k + 1; i < n; i++) {
if (Math.abs(A[i][k]) > maxElement) {
WrapRowIndex = i;
maxElement = A[i][k];
}
}
if (WrapRowIndex != k) { //交换求得最大主元
n_2 += 1;
System.out.println("k = " + k + "时，" + "要交换的行为" + k + "和"+ WrapRowIndex);
//先交换A
for(int j = k; j < n; j++) {
double[] arr = {A[k][j], A[WrapRowIndex][j]};
Swap(arr, 0, 1);
A[k][j] = arr[0]; A[WrapRowIndex][j] = arr[1];
// double tmp = A[k][j];
// A[k][j] = A[WrapRowIndex][j];
// A[WrapRowIndex][j] = tmp;
}
//再交换b
double[] arr = {b[k], b[WrapRowIndex]};
Swap(arr, 0, 1);
b[k] = arr[0]; b[WrapRowIndex] = arr[1];
// double tmp = b[k];
// b[k] = b[WrapRowIndex];
// b[WrapRowIndex] = tmp;
System.out.println("--------------交换后---------------");
PrintA();
}
}
}