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最大似然估计
Laplace分布
Laplace先验导出L1正则化
Gauss先验导出L2正则化

Laplace（拉普拉斯）先验与L1正则化

在之前的一篇博客中L1正则化及其推导推导证明了L1正则化是如何使参数稀疏化人，并且提到过L1正则化如果从贝叶斯的观点看来是Laplace先验，事实上如果从贝叶斯的观点，所有的正则化都是来自于对参数分布的先验。现在来看一下为什么Laplace先验会导出L1正则化，也顺便证明Gauss（高斯）先验会导出L2正则化。

最大似然估计

很多人对最大似然估计不明白，用最简单的线性回归的例子来说：如果有数据集(X,Y)，并且Y是有白噪声（就是与测量得到的Y与真实的Yreal有均值为零的高斯分布误差），目的是用新产生的X来得到Y。如果用线性模型来测量，那么有：

 

 

Laplace分布

Laplace概率密度函数分布为：

分布的图像如下所示：

                                                图1 Laplace分布

可以看到Laplace分布集中在μ附近，而且b越小，数据的分布就越集中。

Laplace先验导出L1正则化

先验的意思是对一种未知的东西的假设，比如说我们看到一个正方体的骰子，那么我们会假设他的各个面朝上的概率都是1/6，这个就是先验。但事实上骰子的材质可能是密度不均的，所以还要从数据集中学习到更接近现实情况的概率。同样，在机器学习中，我们会根据一些已知的知识对参数的分布进行一定的假设，这个就是先验。有先验的好处就是可以在较小的数据集中有良好的泛化性能，当然这是在先验分布是接近真实分布的情况下得到的了，从信息论的角度看，向系统加入了正确先验这个信息，肯定会提高系统的性能。我们假设参数θ是如下的Laplace分布的，这就是Laplace先验：

 

这就是由Laplace导出L1正则化，我在之前的一篇博客中L1正则化及其推导分析过λ越大，那么参数的分布就越集中在0附近，这个与Laplace先验的分析是一致的。

Gauss先验导出L2正则化

到这里，我们可以很轻易地导出L2正则化，假设参数θ的分布是符合以下的高斯分布：