高等数学考研笔记(四)

微分学(下):

高等数学考研笔记(四):微分学(下)

  • 偏导数:
    • 定义:函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的邻域内有定义,固定 y = y 0 y=y_0 y=y0​,得到一元函数 f ( x , y 0 ) f(x,y_0) f(x,y0​),若 f ( x , y 0 ) f(x,y_0) f(x,y0​)在x0处可导,则:
      f x ′ ( x 0 , y 0 ) = ∂ z ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f'_x(x_0,y_0)=\cfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx′​(x0​,y0​)=∂x∂z​(x0​,y0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​
      称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)点对x的偏导数;若对x,y的偏导数都存在,则称该函数可偏导
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 偏导数乘以任意增量 Δ x \Delta x Δx叫做函数对 x x x的偏微分;
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 高阶偏导数的定义可类比高阶导数的定义推广;
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 偏导运算法则同一元函数导数运算法则,特别地,复合函数求偏导也遵循链式法则;
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 对于多元函数而言,可偏导不一定连续,连续也不一定可偏导
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 若二阶混合偏导数 f x y ′ ′ ( x , y ) f''_{xy}(x,y) fxy′′​(x,y)和 f y x ′ ′ ( x , y ) f''_{yx}(x,y) fyx′′​(x,y)在 ( x , y ) (x,y) (x,y)均连续,则 f x y ′ ′ ( x , y ) = f y x ′ ′ ( x , y ) f''_{xy}(x,y) = f''_{yx}(x,y) fxy′′​(x,y)=fyx′′​(x,y),即混合偏导数与求导顺序无关
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 设n元函数 f f f在开区域 D D D中存在一切可能的 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)阶偏导数和一切的 k k k阶混合偏导数,且所有这些导数在 D D D中连续,则任一k阶混合偏导数与求导次序无关
  • 全微分:
    • 定义:若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在(x,y)的某邻域内有定义,且在(x,y)的全增量:
      Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
      可表示为:
      Δ z = ∂ f ∂ x Δ x + ∂ f ∂ y Δ y + o ( ρ ) , ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z = \cfrac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \cfrac{\partial f}{\partial y}\Delta y + o(\rho), \rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δz=∂x∂f​Δx+∂y∂f​Δy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2
      则称函数f(x,y)在(x,y)处可微,且 A Δ x + B Δ y A\Delta x + B\Delta y AΔx+BΔy称为函数f(x,y)在(x,y)处的全微分,记作:
      d z = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y dz = \cfrac{\partial f}{\partial x}d x + \cfrac{\partial f}{\partial y}d y dz=∂x∂f​dx+∂y∂f​dy
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 全微分运算法则同一元函数微分运算法则,特别地,复合函数求全微分也遵循链式法则
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 一阶全微分同样遵循微分形式不变性

    • 可微的条件

      • 函数连续(必要不充分);
      • 函数可偏导(必要不充分);
      • 函数的偏导数连续(充分不必要,此时称函数连续可微);
    • 高阶全微分展开法则
      d n ( z ) = ( ∂ ∂ x d x + ∂ ∂ y d y ) n f ( x , y ) d^n(z) = (\cfrac{\partial}{\partial x}dx+\cfrac{\partial}{\partial y}dy)^nf(x,y) dn(z)=(∂x∂​dx+∂y∂​dy)nf(x,y)

  • 方向导数:
    • 定义:设函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的某领域 U U U内有定义,向量余弦 l = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) l=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) l=(cosα,cosβ,cosγ),则 ∀ P ∈ U \forall P\in U ∀P∈U,使得 P 0 P / / l P_0P // l P0​P//l,若
      ∂ f ∂ l ( P 0 ) = lim ⁡ P → P 0 f ( P ) − f ( P 0 ) ∣ P 0 P ∣ = f x ′ c o s α + f y ′ c o s β + f z ′ c o s γ = g r a d f ⋅ l \cfrac{\partial f}{\partial l}(P_0)=\lim\limits_{P\rightarrow P_0} \cfrac{f(P)-f(P_0)}{|P_0P|} = f'_x cos\alpha+f'_y cos\beta+f'_z cos\gamma = gradf\cdot l ∂l∂f​(P0​)=P→P0​lim​∣P0​P∣f(P)−f(P0​)​=fx′​cosα+fy′​cosβ+fz′​cosγ=gradf⋅l
      存在,则称其为函数 f f f在 P 0 P_0 P0​处沿着方向 l l l的方向导数

    • 方向导数的存在条件

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 可微是方向导数存在的充分不必要条件;
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 函数可偏导,则沿坐标轴方向的方向导数一定存在;
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 沿任何方向的方向导数存在,函数不一定可偏导(偏导数包含与坐标轴平行的两个相反方向的方向导数并要求其相等);

  • 极值/最值求解:
    • 一元函数极值的求解:

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 必要条件:极值点只能在导数等于0的点 x 0 x_0 x0​(称静止点/稳定点/驻点)或导数不存在的点的横坐标;

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件1:若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​的某一领域内有限导数,在各自侧面保持着自己的导数符号不变,则当两侧导数符号异号时, x 0 x_0 x0​为极值点;

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件2:若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处存在n阶导数,则在各阶导数中,若第一个非零的导数是偶数阶,则 x 0 x_0 x0​是极值点(小于零是极大值,大于零是极小值);若第一个非零的导数是奇数阶,则 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)是拐点(小于零是左凹右凸,大于零是左凸右凹);

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 注意:只有拐点是坐标点,其余点(驻点/极值点/零点)都仅指横坐标

    • 一元函数最值的比较求解法:

      比较所有的“可疑极值点”(包括驻点、不可求导点,以及边界点),其中的最大/小数,即为最大/小值;

    • 二元函数极值的求解:
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 必要条件:极值点处对x,y的偏导数均为0;

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件:

      • 多元函数 f ( x 1 , x 2 , . . , x n ) f(x_1,x_2,..,x_n) f(x1​,x2​,..,xn​)的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵定义如下:
        H = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 x 2 . . . ∂ 2 f ∂ x 1 x n ∂ 2 f ∂ x 2 x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 . . . ∂ 2 f ∂ x 2 x n . . . . . . . . . . . . ∂ 2 f ∂ x n x 1 ∂ 2 f ∂ x n x 2 . . . ∂ 2 f ∂ x n 2 ] H = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{matrix} \right] H=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​∂x12​∂2f​∂x2​x1​∂2f​...∂xn​x1​∂2f​​∂x1​x2​∂2f​∂x22​∂2f​...∂xn​x2​∂2f​​............​∂x1​xn​∂2f​∂x2​xn​∂2f​...∂xn2​∂2f​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

      • 当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是正定矩阵时,在该点取得极小值;

      • 当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是负定矩阵时,在该点取得极大值;

      • 当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是不定矩阵时,在该点没有极值;

      • 当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是半正定/半负定矩阵时,无法判断;

    • 多元函数最值的比较求解法:

      • 比较所有的“可疑极值点”(包括驻点、不可偏导点(内部点),以及边界点),其中的最大/小数,即为最大/小值;
      • 对于实际应用问题,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)可能取得极值的点唯一,并根据问题本身知道所求最值存在,则该唯一极值点就是最值点;
    • 条件极值的拉格朗日乘数法
      函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)满足约束方程 ϕ ( x , y , z ) = 0 \phi(x,y,z)=0 ϕ(x,y,z)=0的条件极值,令拉格朗日函数:
      F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) F(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z)+\lambda\phi(x,y,z) F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)
      满足下列方程组:
      { F ′ x = f x ′ + λ ϕ x ′ = 0 F ′ y = f y ′ + λ ϕ y ′ = 0 F ′ z = f z ′ + λ ϕ z ′ = 0 F λ ′ = ϕ = 0 \begin{cases} F'x = f'_x+\lambda\phi'_x = 0\\ F'y = f'_y+\lambda\phi'_y = 0\\ F'z = f'_z+\lambda\phi'_z = 0\\ F'_{\lambda} = \phi = 0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​F′x=fx′​+λϕx′​=0F′y=fy′​+λϕy′​=0F′z=fz′​+λϕz′​=0Fλ′​=ϕ=0​

      ⇒ \Rightarrow ⇒ 其中 λ \lambda λ称拉格朗日乘数
      ⇒ \Rightarrow ⇒ 对于含n个约束方程的条件极值,需要n个拉格朗日乘数;

  • 雅可比矩阵/行列式:
    • 定义:设有m个n元函数组成的函数组:
      { y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . y m = f m ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_m = f_m(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y1​=f1​(x1​,x2​,...,xn​)y2​=f2​(x1​,x2​,...,xn​)...ym​=fm​(x1​,x2​,...,xn​)​​

      则其雅可比矩阵为以下 m × n m\times n m×n矩阵:
      J = [ δ f 1 δ x 1 δ f 1 δ x 2 . . . δ f 1 δ x n δ f 2 δ x 1 δ f 2 δ x 2 . . . δ f 2 δ x n . . . . . . . . . . . . δ f m δ x 1 δ f m δ x 2 . . . δ f m δ x n ] J = \left[ \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_m}{\delta x_1} & \frac{\delta f_m}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_m}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right] J=⎣⎢⎢⎢⎡​δx1​δf1​​δx1​δf2​​...δx1​δfm​​​δx2​δf1​​δx2​δf2​​...δx2​δfm​​​............​δxn​δf1​​δxn​δf2​​...δxn​δfm​​​⎦⎥⎥⎥⎤​
      ​ ⇒ \Rightarrow ⇒ 若 m = n m = n m=n,则雅可比矩阵对应的行列式称雅可比行列式
      ∣ J ∣ = ∣ δ f 1 δ x 1 δ f 1 δ x 2 . . . δ f 1 δ x n δ f 2 δ x 1 δ f 2 δ x 2 . . . δ f 2 δ x n . . . . . . . . . . . . δ f n δ x 1 δ f n δ x 2 . . . δ f n δ x n ∣ = D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) |J|= \left| \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1} & \frac{\delta f_n}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_n}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right| = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)} ∣J∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​δx1​δf1​​δx1​δf2​​...δx1​δfn​​​δx2​δf1​​δx2​δf2​​...δx2​δfn​​​............​δxn​δf1​​δxn​δf2​​...δxn​δfn​​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=D(x1​,x2​,...,xn​)D(y1​,y2​,...,yn​)​

    • 雅可比行列式的复合函数组性质:

      • 第一性质(由一元复合函数求导性质 d y d x ⋅ d x d t = d y d t \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} dxdy​⋅dtdx​=dtdy​推广):

        设有两组函数组:
        { y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . y n = f n ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y1​=f1​(x1​,x2​,...,xn​)y2​=f2​(x1​,x2​,...,xn​)...yn​=fn​(x1​,x2​,...,xn​)​​ { x 1 = g 1 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) x 2 = g 2 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) . . . x n = g n ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_n = g_n(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x1​=g1​(t1​,t2​,...,tn​)x2​=g2​(t1​,t2​,...,tn​)...xn​=gn​(t1​,t2​,...,tn​)​​

        则有:
        D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ⋅ D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) = D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)}\cdot \frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} D(x1​,x2​,...,xn​)D(y1​,y2​,...,yn​)​⋅D(t1​,t2​,...,tn​)D(x1​,x2​,...,xn​)​=D(t1​,t2​,...,tn​)D(y1​,y2​,...,yn​)​

    • 第二性质(由多元复合函数求全导链式法则 d y d t = ∑ δ y δ x i ⋅ δ x i δ t \frac{dy}{dt}=\sum\frac{\delta y}{\delta x_i}\cdot \frac{\delta x_i}{\delta t} dtdy​=∑δxi​δy​⋅δtδxi​​推广):

      设有两组函数组:
      { y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) . . . y n = f n ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_m) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_m) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_m) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​y1​=f1​(x1​,x2​,...,xm​)y2​=f2​(x1​,x2​,...,xm​)...yn​=fn​(x1​,x2​,...,xm​)​​ { x 1 = g 1 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) x 2 = g 2 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) . . . x m = g m ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_m = g_m(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x1​=g1​(t1​,t2​,...,tn​)x2​=g2​(t1​,t2​,...,tn​)...xm​=gm​(t1​,t2​,...,tn​)​​

      ​ 则有:
      D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) = ∑ i 1 , i 2 , . . . , i n D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) ⋅ D ( x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \sum_{i_1,i_2,...,i_n}\frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})} \cdot \frac{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})}{D(t_1,t_2,...,t_n)} D(t1​,t2​,...,tn​)D(y1​,y2​,...,yn​)​=i1​,i2​,...,in​∑​D(xi1​​,xi2​​,...,xin​​)D(y1​,y2​,...,yn​)​⋅D(t1​,t2​,...,tn​)D(xi1​​,xi2​​,...,xin​​)​

      ​ ⇒ \Rightarrow ⇒ i 1 , i 2 , . . . i n i_1,i_2,...i_n i1​,i2​,...in​表示从 m ( m ≥ n ) m(m\geq n) m(m≥n)中取出 n n n个数的一切可能组合;

  • 隐函数:

    1)一元定义:若函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)是由函数方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y) = 0 F(x,y)=0所确定的,就称其为隐函数(不一定可以解出 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的解析式,n元定义和函数方程组定义可类比);

    2)隐函数存在定理

    • 一元函数:设隐函数 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)的领域G内满足:

      ① 函数F在G上连续可微;

      ② F ( P 0 ) = F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(P_0)=F(x_0,y_0)=0 F(P0​)=F(x0​,y0​)=0;

      ③ F y ′ ( P 0 ) ≠ 0 F_y'(P_0)\neq 0 Fy′​(P0​)​=0;

      则存在唯一的函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)和 x 0 x_0 x0​的邻域I使得:

      ① F ( x , f ( x ) ) = 0 F(x,f(x))=0 F(x,f(x))=0;

      ② f ( x 0 ) = y 0 f(x_0) = y_0 f(x0​)=y0​;

      ③ f f f连续可微,且当 x ∈ I x\in I x∈I时有:
      f ′ ( x ) = − F x ′ F y ′ f'(x) = - \cfrac{F'_x}{F'_y} f′(x)=−Fy′​Fx′​​

    • 二元函数:设隐函数 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的领域G内满足:

      ① 函数F在G上连续可微;

      ② F ( P 0 ) = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(P_0)=F(x_0,y_0,z_0)=0 F(P0​)=F(x0​,y0​,z0​)=0;

      ③ F z ′ ( P 0 ) ≠ 0 F_z'(P_0)\neq 0 Fz′​(P0​)​=0;

      则存在唯一的函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)和 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的邻域I使得:

      ① F ( x , y , f ( x , y ) ) = 0 F(x,y,f(x,y))=0 F(x,y,f(x,y))=0;

      ② f ( x 0 , y 0 ) = z 0 f(x_0,y_0) = z_0 f(x0​,y0​)=z0​;

      ③ f f f连续可微,且当 ( x , y ) ∈ I (x,y)\in I (x,y)∈I时有:
      ∂ f ∂ x = − F x ′ F z ′ , ∂ f ∂ y = − F y ′ F z ′ \cfrac{\partial f}{\partial x} = -\cfrac{F'_x}{F'_z},\cfrac{\partial f}{\partial y} = -\cfrac{F'_y}{F'_z} ∂x∂f​=−Fz′​Fx′​​,∂y∂f​=−Fz′​Fy′​​

    • 二元函数组:设隐函数组 F ( x , y , u , v ) = 0 , H ( x , y , u , v ) = 0 F(x,y,u,v)=0,H(x,y,u,v)=0 F(x,y,u,v)=0,H(x,y,u,v)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) P_0(x_0,y_0,u_0,v_0) P0​(x0​,y0​,u0​,v0​)的领域G内满足:

      ① 函数F,H在G上连续可微;

      ② F ( P 0 ) = H ( P 0 ) = 0 F(P_0)=H(P_0)=0 F(P0​)=H(P0​)=0;

      ③ D ( F , H ) D ( u , v ) ≠ 0 \cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}\neq 0 D(u,v)D(F,H)​​=0;

      则存在唯一的一组函数 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u=u(x,y),v=v(x,y) u=u(x,y),v=v(x,y)和 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的邻域I使得:

      ① F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = H ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = 0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=H(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=H(x,y,u(x,y),v(x,y))=0;

      ② u ( x 0 , y 0 ) = u 0 , v ( x 0 , y 0 ) = v 0 u(x_0,y_0) = u_0,v(x_0,y_0) = v_0 u(x0​,y0​)=u0​,v(x0​,y0​)=v0​;

      ③ u , v u,v u,v连续可微,且当 ( x , y ) ∈ I (x,y)\in I (x,y)∈I时有:
      ∂ u ∂ x = − D ( F , H ) D ( x , v ) D ( F , H ) D ( u , v ) , ∂ u ∂ y = − D ( F , H ) D ( y , v ) D ( F , H ) D ( u , v ) ∂ v ∂ x = − D ( F , H ) D ( u , x ) D ( F , H ) D ( u , v ) , ∂ v ∂ y = − D ( F , H ) D ( u , y ) D ( F , H ) D ( u , v ) \cfrac{\partial u}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(x,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial u}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(y,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\ \cfrac{\partial v}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,x)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial v}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,y)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\ ∂x∂u​=−D(u,v)D(F,H)​D(x,v)D(F,H)​​,∂y∂u​=−D(u,v)D(F,H)​D(y,v)D(F,H)​​∂x∂v​=−D(u,v)D(F,H)​D(u,x)D(F,H)​​,∂y∂v​=−D(u,v)D(F,H)​D(u,y)D(F,H)​​



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