上节中我们已经知道有些问题，如果用递归解决变得非常容易。但是仍然很难在大脑里形成一种模型或可视化的方法，让我们直觉地明白函数递归过程到底发生了什么。这一节我们引入几个例子，用递归的方法画几个有趣的图形，通过观察图形的生成，也许能帮助你洞察递归的过程，从而学会递归的方法。

我们要用的工具是python的图形模块turtle，这个模块伴随python的全部版本而且很容易使用，语法也简单。你可以创建一个turtle(乌龟)，让它向前，向后，左转，右转等，它的尾巴能抬起或落下，如果落下，当它运动的时候就画出一条轨迹线。为了增加艺术感，可以修改线条的宽度和墨水的颜色

这里有一个例子来说明turtle的基本功能。这段代码用turtle递归地画一段螺旋线。首先引入模块，然后创建一个turtle对象，并新建一个窗口对象作为画布。下面定义drawSpiral函数。递归函数的基点，是每次运动的距离降到不大于0。向基点运动的方式，是每次画线之后，右转90度，然后再次画线，不过这次的距离就减少。在代码的最后会看到调用函数myWin.exitonclick()，这是一个小方法，作用是turtle对象进入等待模式，如果在窗口里点击，即清理并退出运行。

知道这些就够了，足以画出令人惊叹的美图。下一个程序我们要画个棵分形树。分形是一个数学分枝，其中有很多的递归思想。分形的定义是，不论把图形放大多少倍，其中总有相似的图形。现实中的例子是象大陆海岸线，雪花，山岭，树或灌木。自然界的分形现象使得计算机能够产生足以乱真的电影效果。

要理解这一点，先要想一想我们是如何描述一个分形树的。记得我说过，分形就是不论放大多少倍，在不同的层级上图形都看起来很象。把这句话放在树或灌木上，可以说一个小树杈有着整棵树的形状和特征。这样说来，一棵树就是树干有左右两个分枝，每个分枝又是比较小的树。看到没有，上面这个定义中用到了递归。用树定义了树。

让我们把想法变成python代码。List1就是用turtle画出的分形树。5-7行是递归调用。第5行是向右转20度之后调用，这是刚才提到的右边的小树。第7行是是另一个递归调用，但这次是左转40度之后的调用。之所以要转40度，是因为先要从刚才的右转中回转20，再转20才是左向20度。另外要注意的是，每次递归，都把树枝的长度减少一块，这是为了让树越来越小。第2行有一个检查过程，防止树枝长度过小，也是递归的基点

Listing 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

deftree(branchLen,t):     if branchLen >5:         t.forward(branchLen)         t.right(20)         tree(branchLen-15,t)         t.left(40)         tree(branchLen-10,t)         t.right(20)         t.backward(branchLen)

完全的实现代码在下面。在运行它之前，不妨心中先想像一个，程序会如何绘制这棵树。它会同时对称地在左右两棵树上绘制吗？还是先右再左呢？

importturtle

 

deftree(branchLen,t):

    if branchLen > 5:

        t.forward(branchLen)

       t.right(20)

        tree(branchLen-15,t)

        t.left(40)

        tree(branchLen-15,t)

        t.right(20)

        t.backward(branchLen)

 

defmain():

    t = turtle.Turtle()

    myWin = turtle.Screen()

    t.left(90)

    t.up()

    t.backward(100)

    t.down()

    t.color("green")

    tree(75,t)

    myWin.exitonclick()

 

main()

注意每一个树枝对应一次递归调用；

注意它是怎样一直向右延伸到最短的末梢，如图1所示；

注意程序怎样回退一直到整个右枝完全画完。整个的右枝见图2.

注意到左树枝以后，不是把左边的一向画到最后的末梢，而是再次把左枝的右枝画到末梢，直到最后画完。

图1 分形树的开始

图2 分形树的右分枝

这个简单的程序只是一个开始点，可能这个树不太“真实”，这是因为自然界不象电脑程序那么对称。本章结束时将给你一些建议去探索一些有趣的选项，使得这棵树显得更真实一些。

（译者上一些分形图，与各位共享）