置换

置换：集合到自身的双射。通常只考虑有限集合。

即 \(f:S\to S\)，且对任意 \(y\in S\) 存在唯一的 \(x\in S\) 满足 \(f(x)=y\)。

其实就是排列。

置换通常写成

\[f={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_1} a_{p_2} \cdots a_{p_n}} \]

也可以写成 \(f(a_1)=a_{p_1},\ldots ,f({a_n})=a_{p_n}\)。

置换的乘法：就是复合，即

\[f={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_1} a_{p_2} \cdots a_{p_n}},g={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{q_1} a_{q_2} \cdots a_{q_n}} \]

则

\[f\circ g={a_1 a_2 \cdots a_n\choose a_{p_{q_1}} a_{p_{q_2}} \cdots a_{p_{q_n}}} \]

轮换：形如

\[{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{k-1}}a_{j_k}a_{i_1}\cdots a_{i_{n-k}}\choose a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_k}a_{j_1}a_{i_1}\cdots a_{i_{n-k}}} \]

的置换。即把一些元素循环移位，其余元素不变。可以写成

\[(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_k}) \]

\(k=2\) 的轮换称为对换。

任意置换都可以拆成若干个不相交轮换的乘积，如：

\[{12345\choose 25431} \]

可以写成

\[(125)(34) \]

拆成的轮换个数称为置换的环数 \(cyc(p)\)。

一个置换可以写成若干对换的乘积，且对换个数的奇偶性是一定的，也叫做这个置换的奇偶性。根据奇偶性可以分为奇置换和偶置换。

置换的奇偶性与 \(n-cyc(p)\) 的奇偶性相同。

如果置换是

\[{123\cdots n\choose p_1p_2p_3\cdots p_n} \]

则它的奇偶性与排列 \(p\) 的逆序对数相同。

对称群

大小为 \(n\) 的置换的集合叫做对称群 \(S_n\)。\(S_n\) 的阶数是 \(n!\)。

群：若集合 \(S\) 和 \(S\) 上的二元运算 \(\circ\) 构成的代数结构 \((S,\circ)\) 满足：

• 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\circ b\in S\)。
• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\)。
• 单位元：\(\exist e\in S,\forall a\in S,a\circ e=e\circ a=a\)。
• 逆元：\(\forall a\in S,\exist b\in S,a\circ b=b\circ a=e\)。称 \(b\) 是 \(a\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。

大小为 \(n\) 的偶置换的集合叫做交错群 \(A_n\)。当 \(n\ge 2\) 时，\(A_n\) 的阶数是 \(n!/2\)。

note：左单位元=右单位元 左逆元=右逆元

Burnside 引理

令 \(G\) 是作用于集合 \(X\) 上的群。通常 \(X\) 是所有染色方案。若 \(g\in G\)，记 \(X^g\) 为 \(X\) 中在 \(g\) 作用下的不动元素。

Burnside 引理断言轨道数（记作 \(|X/G|\)，也就是所谓本质不同的方案数）由以下公式给出：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

即 \(X\) 在 \(G\) 中每个元素作用下不动元素数的算术平均值。

note：

• 群作用：假设 \(G\) 是作用于集合 \(X\) 上的群，定义作用是 \(g\circ x\)
  1. (g h)x=g(h x)
  2. ex=x
• 不动元素：x^g={x\inX|gx=x} eg RGG 交换后两个还是 RGG 此时两个都是不动元素

轨道-稳定子定理

令 \(G\) 是作用于集合 \(X\) 上的群。若 \(x\in X\)，则 \(x\) 的轨道 \(Gx\) 定义为

\[Gx=\{gx\mid g\in G\} \]

note：Gx 即 x 染色方案的等价类，本质相同的元素轨道相同。不同的本质方案数即轨道数。

\(x\) 的稳定子群 \(G^x\) 定义为

\[G^x=\{g\in G\mid gx=x\} \]

note：证明是群：

• 封闭性：若 gx=x,hx=x，则 （gh)x=x 满足
• 结合律：显然
• 单位元：显然存在 ex=x
• 逆元：x=g^{-1}x

轨道-稳定子定理指出

\[|G|=|G^x||Gx| \]

若 \(G=(S,\circ)\) 是一个群，\(H=(T,\circ)\) 也是一个群，且 \(T\sub S\)，则称 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

对某个 \(g\in G\)，\(gH=\{gh\mid h\in H\}\) 是 \(H\) 的一个左陪集，\(Hg=\{hg\mid h\in H\}\) 是 \(H\) 的一个右陪集。

拉格朗日定理 若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，则 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

证明 可以证明 \(a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H\) 是一个等价关系，且 \(a\) 所在的等价类就是 \(aH\)。每个等价类的元素个数都等于 \(|H|\)，因此 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

记 \([G:H]\) 为 \(H\) 不同的左陪集个数，那么 \(|G|=|H|[G:H]\)。

由拉格朗日定理得 \(|G|=|G^x|[G:G^x]\)。接下来只需证明 \([G:G^x]=|Gx|\)。考虑构造双射 \(\varphi(gx)=gG^x\)。

若 \(gx=fx\)，则 \((f^{-1}\circ g)x=x\)，因此 \(f^{-1}\circ g\in G^x\)，因此 \(fG^x=gG^x\)。反过来若 \(fG^x=gG^x\) 则 \(gx=fx\)。因此 \(\varphi\) 是一个双射。

• 等价关系：自反性、对称性、传递性

Burnside 引理的剩余推导

\[\begin{aligned} \sum_{g\in G}|X^g|&=\sum_{x\in X}|G^x|\\ &=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|Gx|}\\ &=|G|\sum_{x\in X}\frac{1}{|Gx|}\\ &=|G||X/G| \end{aligned} \]

Pólya 定理

若 \(G\) 是 \(X\) 上的置换群，则给 \(X\) 中的每个元素涂上 \(m\) 种颜色之一，在 \(G\) 作用下本质不同的方案数为

\[\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{cyc(g)} \]

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