求证：
1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . . . . + n 2 = n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+......+n^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6} 12+22+32+......+n2=6n(2n+1)(n+1)
证明：
当 n = 1 时,等式左右两边都等于 1 ,等式成立
假设当 n = m 时,等式成立,即有
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
=
m
(
2
m
+
1
)
(
m
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+......+m^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}
12+22+32+......+m2=6m(2m+1)(m+1)
那么当 n = m + 1 时,有
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
+
(
m
+
1
)
2
=
m
(
2
m
+
1
)
(
m
+
1
)
6
+
(
m
+
1
)
2
1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1)^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}+(m+1)^2
12+22+32+......+m2+(m+1)2=6m(2m+1)(m+1)+(m+1)2
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
+
(
m
+
1
)
2
=
m
(
2
m
+
1
)
(
m
+
1
)
6
+
6
(
m
+
1
)
2
6
1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1)^2=\frac{m(2m+1)(m+1)}{6}+\frac{6(m+1)^2}{6}
12+22+32+......+m2+(m+1)2=6m(2m+1)(m+1)+66(m+1)2
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
+
(
m
+
1
)
2
=
(
m
+
1
)
[
m
(
2
m
+
1
)
+
6
(
m
+
1
)
]
6
1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1)^2=\frac{(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]}{6}
12+22+32+......+m2+(m+1)2=6(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
+
(
m
+
1
)
2
=
(
m
+
1
)
(
2
m
+
3
)
(
m
+
2
)
6
1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1)^2=\frac{(m+1)(2m+3)(m+2)}{6}
12+22+32+......+m2+(m+1)2=6(m+1)(2m+3)(m+2)
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
m
2
+
(
m
+
1
)
2
=
(
m
+
1
)
[
2
(
m
+
1
)
+
1
]
[
(
m
+
1
)
+
1
]
6
1^2+2^2+3^2+......+m^2+(m+1)^2=\frac{(m+1)[2(m+1)+1][(m+1)+1]}{6}
12+22+32+......+m2+(m+1)2=6(m+1)[2(m+1)+1][(m+1)+1]
所以当 n = m + 1 时等式成立,即可证得
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
.
.
.
+
n
2
=
n
(
2
n
+
1
)
(
n
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+......+n^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}
12+22+32+......+n2=6n(2n+1)(n+1)