目录
(一)点与线段
1.如何判断点在线段上？
我们用向量
A
B
→
\overrightarrow{AB}
AB
表示线段AB，后面都将用向量表示线段。
Q
A
→
×
Q
B
→
=
0
\overrightarrow{QA}\times\overrightarrow{QB}=0
QA
×QB
=0 判断点Q是否在直线AB上
Q
A
→
×
Q
B
→
≤
0
\overrightarrow{QA}\times\overrightarrow{QB}\le0
QA
×QB
≤0 判断点Q是否落在线段AB之间。
2.如何判断点在线段的那一侧？
先判断点
A
A
A的纵坐标是否在线段两端点的纵坐标之间。
如果
A
C
→
×
A
B
→
>
0
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB}>0
AC
×AB
>0，则可以知道点
A
A
A在线段
B
C
BC
BC左侧。否则点
A
A
A在线段
B
C
BC
BC右侧。
(二)线段与线段
1.如何求两个线段的交点？
我们先求出直线
A
B
AB
AB和直线
C
D
CD
CD的交点，再判断交点是否在线段
A
B
AB
AB和线段
C
D
CD
CD上。
直线
C
D
CD
CD上的点可以表示为
C
+
t
C
D
→
C +t\overrightarrow{CD}
C+tCD
，交点又在直线
A
B
AB
AB上，所以有：
B
A
→
×
B
Q
→
=
0
\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BQ}=0
BA
×BQ
=0 ，
B
Q
→
=
(
C
+
t
C
D
→
)
−
B
\overrightarrow{BQ}=(C+t\overrightarrow{CD})-B
BQ
=(C+tCD
)−B
由此可以求出
t
t
t的值为：
t
=
B
A
→
×
C
B
→
B
A
→
×
C
D
→
t=\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}
t=BA
×CD
BA
×CB
所以
Q
Q
Q点坐标为：
C
+
B
A
→
×
C
B
→
B
A
→
×
C
D
→
C
D
→
C+\frac{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}}\overrightarrow{CD}
C+BA
×CD
BA
×CB
CD
。
但是当两条线段是平行的，这种方法就失效了。因为
B
A
→
×
C
D
→
=
0
\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{CD}=0
BA
×CD
=0。
此时我们可以通过检查线段端点是否在另一条线段上来判断。
直线平行判断：
a
→
×
b
→
=
0
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} =0
a
×b
=0
(三)点与多边形
1.如何判断点在多边形内？
射线法：从目标点出发引一条射线，看这条射线和多边形所有边的交点数目。如果有奇数个交点，则说明在内部，如果有偶数个交点，则说明在外部。
如上图，红点左右两边都是奇数个交点。
特殊情况：
边上的点是否与射线相交，我们只需判断线段的两个端点是否在射线的两侧，在射线上或上方的端点我们把它认为是同一种情况。上图中边a的一个端点在射线的下方，另一个端点在射线上或上方，所以边a与射线相交，而边b和边c的两个端点都在射线上或上方，所以边b和边c与射线不相交。