某日晚上，一个蒟蒻被线面垂直判断定理的课后练习题虐得死去活来，便有了这篇文章(bushi

0x01 引入

顾名思义，空间向量就是空间里的向量，与平面向量大同小异，表示方法、运算等方面是一致的。避免冗长，在此就不多赘述了。
本文思路亦参考教材思路。

0x02 线面向量化

名字是我自己取的
对于空间里的直线和平面，为了使用向量解决相关的问题，我们需要用向量描述它们

直线

通常用一个与直线方向相同的向量来描述该直线，这种向量就叫做这条直线的方向向量
例如直线\(\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}\)的一个方向向量即为\((a,b,c)\)

平面

类似地，我们用一个与平面垂直的向量来描述该平面，这种向量就叫做这条直线的法向量
求法向量有两个方法：

• 待定系数法
  设\(\overrightarrow{n}=(x_{n},y_{n},z_{n})\)为平面\(\alpha\)的法向量
  取平面内两个不平行的向量\(\overrightarrow{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})\)与\(\overrightarrow{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})\)
  解方程组

\[ \begin{cases} \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{a}=0\\ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{b}=0 \end{cases} \]

其中任意一解均为平面\(\alpha\)的法向量

• 向量叉乘
  根据定义，\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \in \alpha\)，则\((\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \perp \alpha\)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \left|\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{a} & y_{a} & z_{a}\\ x_{b} & y_{b} & z_{b} \end{array}\right| =(y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b} , x_{a}z_{b}-z_{a}x_{b} , y_{a}x_{b}-x_{a}y_{b}) (其中\vec{i},\vec{j},\vec{k}分别为x,y,z轴正方向的单位向量) \]

0x03 暴力解题

有了上述知识，我们便可以碾压所有立体几何题了

点与面

点面距离公式

空间内有一点\(A\)与平面\(\alpha\)，\(A \notin \alpha\)
在\(\alpha\)内找一点\(B\)，\(AB\)不垂直\(\alpha\)
取\(alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}\)
则\(A\)到\(\alpha\)的距离

\[d=\frac{\left|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|} \]

线与线

线线平行

分别取两直线\(l_{1},l_{2}\)的方向向量\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)

\[\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in\mathbb{R}) \iff \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \vec{0} \iff \overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \iff l_{1} \parallel l_{2} \]

线线垂直

分别取两直线\(l_{1},l_{2}\)的方向向量\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0 \iff \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff l_{1} \perp l_{2} \]

异面直线所成的角

分别取两直线\(l_{1},l_{2}\)的方向向量\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)

\[\cos \theta =\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \left|\overrightarrow{b}\right|} \]

线与面

线面平行

取直线\(l\)的方向向量\(\overrightarrow{a}\)与平面\(\alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}\)

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} \iff \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{n} \iff l \parallel \alpha \]

线面垂直

取直线\(l\)的方向向量\(\overrightarrow{a}\)与平面\(\alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}\)

\[\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{n} \iff \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{n}=\vec{0} \iff l \perp \alpha \]

线面角

取直线\(l\)的方向向量\(\overrightarrow{a}\)与平面\(\alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}\)

\[\sin\theta=\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \left|\overrightarrow{n}\right|} \]

面与面

面面平行

分别取平面\(\alpha,\beta\)的法向量\(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\)

\[\overrightarrow{n_{1}} \parallel \overrightarrow{n_{2}} \iff \alpha \parallel \beta \]

面面垂直

分别取平面\(\alpha,\beta\)的法向量\(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\)

\[\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{n_{2}} \iff \alpha \perp \beta \]

二面角

分别取平面\(\alpha,\beta\)的法向量\(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\)

\[\cos\theta=\cos<\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}>=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \left|\overrightarrow{n_{2}}\right|} \]