3.1 关于半鞅的随机积分（Ren）
若
X
=
M
+
A
X=M+A
X=M+A,其中
M
∈
M
l
o
c
,
A
∈
V
M \in M^ {loc} ,A \in V
M∈Mloc,A∈V,
H
H
H为可选过程,则定义过程
Y
:
=
H
⋅
X
Y:=H \cdot X
Y:=H⋅X为
Y
t
:
=
(
H
⋅
X
)
t
:
=
∫
0
t
H
s
d
X
s
:
=
∫
0
t
H
s
d
M
s
+
∫
0
t
H
s
d
A
s
Y_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s}
Yt:=(H⋅X)t:=∫0tHsdXs:=∫0tHsdMs+∫0tHsdAs
如果右边的两个积分都存在的话.
关于半鞅的随机积分=关于有界变差的随机积分+关于局部鞅的随机积分
1. 随机Stieltjes积分（关于有界变差的随机积分）
随机Stieltjes积分：把 ω \omega ω当作参数，固定 ω \omega ω后做Lebsgue-Stieltjes积分
1.1 有限变差过程
- 有限变差过程&增过程的定义
- 有限变差过程是两个增过程之差
1.2 随机Stieltjes积分
随机Stieltjes积分定义：由测度论,
∀
ω
\forall \omega
∀ω ,
A
(
,
ω
)
A(, \omega )
A(,ω)产生一个Lebesgue-Stieltjes测度
μ
A
(
ω
)
\mu _ {A(\omega )}
μA(ω)。对任意非负过程
H
H
H，只要
∀
ω
,
t
→
f
(
t
,
ω
)
\forall \omega ,t\rightarrow f(t, \omega )
∀ω,t→f(t,ω)为Borel可测，就可逐
ω
\omega
ω定义
∫
0
t
f
s
d
A
s
:
=
∫
0
t
f
s
μ
A
(
d
s
)
\int _ {0}^ {t} f_ {s} dA_ {s} := \int _ {0}^ {t} f_ {s} \mu _ {A} (ds)
∫0tfsdAs:=∫0tfsμA(ds)
因为
μ
A
\mu _ {A}
μA 在单点集上的负荷为零,所以这里
∫
0
t
\int _ {0}^ {t}
∫0t 理解为
∫
[
0
,
T
)
\int _ {[0,T)}
∫[0,T) 还是
∫
[
0
,
T
]
\int _ {[0,T]}
∫[0,T]是无所谓的。这个过程记为
H
⋅
A
H \cdot A
H⋅A.
2. 关于局部鞅的随机积分
之所以可以定义循序可测过程对Brown运动的随机积分, 关键是其保范性质, 而这个保范性质的建立, 是建立的Brown运动具有独立增量的基础之上的.但仔细检查一下证明,那里真正需要的其实并不是“独立增量”这么强的性质, 而只要 w 2 − t w^ {2}-t w2−t 为鞅就足够了。这就给推广随机积分带来了希望, 因为对一般的平方可积鞅 M M M， M 2 − [ M ] M^ {2}-[M] M2−[M] 也是鞅.
基本思路：
- 简单过程关于鞅的随机积分的定义，简单过程关于鞅的随机积分是线性的，是关于t是连续的平方可积鞅，具有等距性 E [ I ( f ) 2 ] = E ∫ 0 T [ f 2 ( t ) ] d t E[I(f)^2]=E\int_0^T[f^2(t)]dt E[I(f)2]=E∫0T[f2(t)]dt（线性等距算子）;
- 简单过程构成的空间在可积函数构成的空间 L 2 \mathscr{L}_2 L2中是稠密的
- 根据1和2可得：可积过程 L 2 \mathscr{L}_2 L2关于鞅随机积分在 L 2 L^2 L2意义下有定义
- 关于局部鞅的随机积分
- 简单过程关于鞅的随机积分的定义，简单过程关于鞅的随机积分是线性的，是关于t是连续的平方可积鞅，具有等距性 E [ I ( f ) 2 ] = E ∫ 0 T [ f 2 ( t ) ] d t E[I(f)^2]=E\int_0^T[f^2(t)]dt E[I(f)2]=E∫0T[f2(t)]dt（线性等距算子）
- 简单过程关于鞅的随机积分的定义
- 简单过程关于鞅的随机积分具有等距性
2.简单过程构成的空间在可积函数构成的空间 L 2 \mathscr{L}_2 L2中是稠密的
- 可积函数类
L
2
\mathscr{L}_2
L2
-
L
=
L
2
(
μ
M
)
\mathscr{L}=L^2(\mu_M)
L=L2(μM)
- 简单过程构成的空间在
L
\mathscr{L}
L中是稠密的
- 根据1和2可得：可积过程 L \mathscr{L} L关于鞅随机积分在 L 2 L^2 L2意义下有定义
- 可积过程
L
\mathscr{L}
L关于鞅的随机积分
- 可积过程
L
\mathscr{L}
L关于鞅的随机积分的性质：平方变差&局部性
- 由第二个性质可得识别随机积分的方法
- 由命题7.4.3可得
- 随机积分的估计
- 关于局部鞅的随机积分
设
M
∈
M
2
l
o
c
,
σ
n
M \in \mathscr{M}_ {2}^ {loc} ,{ \sigma _ {n} }
M∈M2loc,σn 为其局部化停时列.令
[
M
]
t
:
=
[
M
σ
n
]
t
,
(
t
,
ω
)
∈
[
0
,
σ
n
]
[M]_ {t} :=[ M^{\sigma_n}]_t,(t, \omega ) \in [0,\sigma _ {n}]
[M]t:=[Mσn]t,(t,ω)∈[0,σn]
以及
L
2
l
o
c
(
M
)
:
=
{
H
:
∫
0
T
H
2
d
[
M
]
t
<
∞
,
a
s
}
\mathscr{L}^{loc}_ {2}(M):=\{H: \int _ {0}^ {T} H^ {2}d [M]_{t} < \infty, as\}
L2loc(M):={H:∫0TH2d[M]t<∞,as}
则
∀
H
∈
L
2
l
o
c
\forall H \in \mathscr{L}^{loc}_ {2}
∀H∈L2loc ,存在局部化停时列
{
τ
n
}
\{ \tau_ {n} \}
{τn}使得
E
[
∫
0
τ
n
H
2
d
[
M
]
]
<
∞
,
∀
n
E[ \int _ {0}^ {\tau_n} H^ {2} d[M]]< \infty , \forall n
E[∫0τnH2d[M]]<∞,∀n
令
M
n
:
=
M
σ
n
,
H
n
(
t
,
ω
)
:
=
H
1
[
0
,
n
+
1
]
.
M_ {n}:= M^{\sigma_n}, H_ {n} (t,\omega ):=H1_ {[0,n+1]}.
Mn:=Mσn,Hn(t,ω):=H1[0,n+1].
在$[0, \sigma _ {n} \wedge \tau _ {n} ] $上,令
M
(
t
)
:
=
H
n
⋅
M
n
M(t):= H_ {n} \cdot M_ {n}
M(t):=Hn⋅Mn
易证这个定义是没有歧义的.
H
⋅
M
H\cdot M
H⋅M称为
H
H
H对
M
M
M的随机积分.
我们也常常将$H \cdot M $写成积分的形式,即
H
⋅
M
(
t
)
=
∫
0
t
H
s
d
M
s
H \cdot M(t)= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s}
H⋅M(t)=∫0tHsdMs
利用局部化停时列过渡, 关于鞅的随机积分除了要取期望的之外, 均可以推广到
关于局部鞅的随机积分。
3. 关于半鞅的随机积分
3.1 关于半鞅的随机积分
若
X
=
M
+
A
X=M+A
X=M+A,其中
M
∈
M
l
o
c
,
A
∈
V
M \in M^ {loc} ,A \in V
M∈Mloc,A∈V,
H
H
H为可选过程,则定义过程
Y
:
=
H
⋅
X
Y:=H \cdot X
Y:=H⋅X为
Y
t
:
=
(
H
⋅
X
)
t
:
=
∫
0
t
H
s
d
X
s
:
=
∫
0
t
H
s
d
M
s
+
∫
0
t
H
s
d
A
s
Y_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s}
Yt:=(H⋅X)t:=∫0tHsdXs:=∫0tHsdMs+∫0tHsdAs
如果右边的两个积分都存在的话.
- 右边的两个积分都存在的条件：这两个积分存在的条件下不相同, 所以要提出一个公共的条件使它们都存在是比较麻烦的, 但有一些简单的充分条件保证它们都存在, 比如说H是连续过程时就是如此.
- 由于这两部分性质差异较大, 把它们分开看待而不是看作一个整体往往更方便一些。
3.2 半鞅的随机微分
-
半鞅的随机微分定义
-
半鞅的随机微分满足的条件
-
由命题7.4.3可得命题7.6.1