[AcWing] 894. 拆分-Nim游戏（C++实现）博弈论SG函数例题
1. 题目
2. 读题（需要重点注意的东西）
思路：
首先要知道几个定义
公平组合游戏（ICG）
公平组合游戏（ICG）
（1）由两名玩家交替行动
（2）在游戏进行的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关
（3）轮流走，当一个玩家不能走时游戏结束
（4）游戏不能区分玩家的身份，例如黑白棋就是不行的
特征
给定初始局势，指定先手玩家，如果双方都采取最优策略，那么获胜者已经确定了，也就是说ICG问题存在必胜策略
必胜状态和必败状态
必胜状态和必败状态
必胜状态：先手进行某一个操作，留给后手是一个必败状态时，对于先手来说是一个必胜状态。即先手可以走到某一个必败状态。
必败状态：先手无论如何操作，留给后手都是一个必胜状态时，对于先手来说是一个必败状态。即先手走不到任何一个必败状态。
结论
假设n堆石子，石子数目分别是a1,a2,…,an，如果a1⊕a2⊕…⊕an≠0，先手必胜；否则先手必
败。
SG函数
SG函数
给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有公平组合游戏的抽象模型。
mex运算
mex运算
表示最小的不属于这个集合的非负整数。
对于一个给定的有向无环图，定义图的每个顶点的SG函数如下：SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
首先将终点全部置0，再逐一找出前驱节点的SG值
有向图游戏的和
有向图游戏的和
设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。则SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
SG值的意义
SG值的意义
当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏求它的SG值，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略。
结论：
先手必胜：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn) ≠ 0
先手必败：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2)⊕ … ⊕ SG(Gn) = 0
SG值的一个定理
两堆石子的SG值，等于各堆石子SG值的异或
SG(a1,a2) = SG(a1) ⊕ SG(a2)
本题思路：
本题的主要思路就是代结论，求出每个局面的SG值，但是需要注意，此题的局面有很多种，因为一堆石子（如上图a1）又可以分为两堆石子（如上图（b1,b2）、（c1,c2）），考虑所有的局面，用mex运算计算出sg值，然后代入结论：
先手必胜：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2) ⊕ … ⊕ SG(Gn) ≠ 0
先手必败：SG =SG(G1) ⊕ SG(G2)⊕ … ⊕ SG(Gn) = 0
3. 解法
---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int f[N];
int sg(int x)
{
if (f[x] != -1) return f[x]; // 记忆化搜索
unordered_set<int> S; // 用哈希表来存储
// 当前状态可以变为如下局面
for (int i = 0; i < x; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
// 存储分出来的两堆石子sg值的异或
S.insert(sg(i) ^ sg(j));
for (int i = 0;; i ++ ) // mex运算求出该堆石子的sg值
if (!S.count(i))
return f[x] = i;
}
int main()
{
cin >> n;
memset(f, -1, sizeof f);
int res = 0;
while (n -- )
{
int x;
cin >> x;
res ^= sg(x); // 公式
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
可能存在的问题
4. 可能有帮助的前置习题
5. 所用到的数据结构与算法思想
- 博弈论
- SG函数
- 记忆化搜索
6. 总结
博弈论SG函数例题，理解思想并自己实现代码。