高斯定理

在Part 0中已经提到，研究对象的变化导致一系列深刻的变化，研究方法与思路，规律的形式与性质。

场的本质

为了更好地描述电场，我们必须要引入通量与环流。这是物理模型的突破，也是数学原理在物理演进中起到重要作用的例证。

场是一定空间范围内连续分布的客体

基本的场的类型：

标量场：温度分布
矢量场：流速分布

根据已有知识，已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布。类比流体，物理学家引入了矢量场论来描述这种带有矢量特性的电场。

流速场给了我们丰富的图像。

流体的类比

流线：电力线
泉涌（流量）：源汇（通量）
漩涡：环流

取闭合面外法线方向为正。

高斯定理的证明

数学知识：

• 立体角（类似圆心角）

  • \[\mathrm d\Omega=\frac{\mathrm dS'}{r^2}=\frac{\hat{r}\mathrm dS}{r^2} \]

思路：从特殊到一般

引进立体角之后，结合电力平方分布律，有\(\mathrm d\Phi_E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm dS'}{r^2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{r}\mathrm dS}{r^2}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\mathrm d\Omega\left(\xlongequal{sumed\ to}\frac{q}{\varepsilon_0}\right)\)

其中\(E\)是空间内所有电荷的电场在高斯面上的叠加。
闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的。（作业1.2）

库仑定律与高斯定理的意义

库仑定律：实验定律（总）

• 高斯定理：电力的平方反比律（源和通量）。

  如果不附加场的对称性等，无法从高斯定理导出库仑定律。
  因为高斯定理没有反映电场是有心力场的特性。

• 环路定理：

高斯面是一个几何面。

利用高斯定理求场强

高斯定理+对称性：可解强对称性场强问题（如球对称，无限长轴对称、无限大面对称）

可以与场强叠加原理（挖补法）求解整体不具有但局部有对称性的电荷分布。
例 电荷均匀分布在一球体内，体密度为\(\rho\)，在球内挖出一个球形空腔，两个球心间距\(a\)。求空腔内的电场强度。

\[\overrightarrow{E_1}=\frac{\rho\overrightarrow{r_1}}{3\varepsilon_0}, \overrightarrow{E_2}=\frac{-\rho\overrightarrow{r_2}}{3\varepsilon_0}\\ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}=\frac{\rho\overrightarrow{a}}{3\varepsilon_0} \]

Gauss定理的理解

如果闭合面内总电量为零，闭合面上场强处处为0（可能是内部总电量抵消使得通量抵消，但它们的场强实际上并不会抵消）

闭合面上场强为0，但其内部电荷量不一定为0。如高斯面位于导体内部。