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实数系的连续性
1. 封闭
封闭的概念: 若有一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，我们称该集合对这种运算是封闭的.
2. 上确界和下确界
2.1 上确界
设U的最小数为 β \beta β ,就称 β \beta β 为数集 S S S 的上确界，即最小上界，记为
β = s u p S \Large\beta= sup S β=supS
上确界有以下两个性质：
1.
β
\beta
β是数集
S
S
S 的上界；
∀
x
∈
S
,
有
x
≤
β
;
\forall x \in S,有 x \leq \beta;
∀x∈S,有x≤β;
2. 任何小于
β
\beta
β 的数不是数集
S
S
S 的上界：
∀
ϵ
>
0
,
∃
x
∈
S
,
使
得
x
>
β
−
ϵ
;
\forall \epsilon >0, \exists x \in S,使得x>\beta -\epsilon;
∀ϵ>0,∃x∈S,使得x>β−ϵ;
2.2 下确界
设L的最大数为 α \alpha α ,就称 α \alpha α 为数集 S S S 的下确界，即最小下界，记为
α = i n f S \Large\alpha= inf S α=infS
上确界有以下两个性质：
1.
α
\alpha
α是数集
S
S
S 的下界；
∀
x
∈
S
,
有
x
≥
α
;
\forall x \in S,有 x \geq \alpha;
∀x∈S,有x≥α;
2. 任何小于
α
\alpha
α 的数不是数集
S
S
S 的下界：
∀
ϵ
>
0
,
∃
x
∈
S
,
使
得
x
<
α
+
ϵ
;
\forall \epsilon >0, \exists x \in S,使得x<\alpha +\epsilon;
∀ϵ>0,∃x∈S,使得x<α+ϵ;
2.3 确界存在定理：
非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。
数列极限
概念引入：求圆的面积
A 1 , A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . ⇒ A_1,A_2,A_3,...,A_n,...\Rightarrow A1,A2,A3,...,An,...⇒无穷次逐步逼近过程
1.数列定义
按自然数编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . x_1,x_2,x_3,...,x_n,... x1,x2,x3,...,xn,...
称为无穷数列，简称数列。记作{ x n x_n xn}
2.数列极限的定义
给定数列{ x n x_n xn}，a为常数，如果对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0，都存在一个正整数N，使n>N时，成立| x n x_n xn-a|< ε \varepsilon ε，
则称当n趋向于无穷大时，数列{ x n x_n xn}以a为极限。记作：
lim x → ∞ x n = a \Large\color{red}\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a limx→∞xn=a
如果数列没有极限，就称数列是发散的。
注意
(1)：定义中的 ε \varepsilon ε刻画了 x n x_n xn与a的逼近程度，定义中的 ε \varepsilon ε可以限制 ε ≤ a \varepsilon \leq a ε≤a.可以记作成N( ε \varepsilon ε)，但不能看作是 ε \varepsilon ε的函数，因为 ε \varepsilon ε确定时，N可以不唯一。
(2)：定义中的N和 ε \varepsilon ε有关，仅要求存在，一般 ε \varepsilon ε越小，N越大。
2.1 逻辑符号表述
ε
\varepsilon
ε -N 定义：
lim
x
→
∞
x
n
=
a
⇔
\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a \Leftrightarrow
limx→∞xn=a⇔
∀
ε
>
0
,
∃
N
>
0
,
\forall \varepsilon>0,\exists N>0,
∀ε>0,∃N>0, 使n>N时,恒有
∣
x
n
−
a
∣
<
ε
|x_n-a|<\varepsilon
∣xn−a∣<ε.
3.收敛数列的性质
3.1 有界性
定理1：收敛的数列必定有界
3.2 唯一性
定理2：每个收敛的数列只有一个极限
3.3 保号性
（1）设 lim x → ∞ x n = a > 0 \lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a >0 limx→∞xn=a>0 则 ∃ N > 0 , \exists N>0, ∃N>0,当n>N时有 x n > 0 x_n>0 xn>0.
（2）设 lim x → ∞ x n = a < 0 \lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a <0 limx→∞xn=a<0 则 ∃ N > 0 , \exists N>0, ∃N>0,当n>N时有 x n < 0 x_n<0 xn<0.
4.数列收敛性的判别准则
单调有界，必有极限