【统计学笔记】第六章统计量及其抽样分布

2023-11-05 19:28:46

第六章统计量及其抽样分布

χ 2 \chi^2 χ2分布的定义：
χ 2 \chi^2 χ2分布的定义的符号表达：
有 X 1 , X 2 , . . . . . . , X n 相互独立 i f ： X i ∼ N ( 0 , 1 ) ； t h e n ： ∑ i = 1 n X i 2 ∼ χ 2 ( n ) ；有X_1,X_2,......,X_n相互独立\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \ \\ if：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ X_i \sim N(0, 1)； \\ then：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \sum_{i=1}^n{X_i^2} \sim \chi^2(n)；有X1,X2,......,Xn相互独立 if：Xi∼N(0,1)；then：i=1∑nXi2∼χ2(n)；
χ 2 \chi^2 χ2分布的期望和方差：
χ 2 \chi^2 χ2分布的 p p p分位数：

t分布的定义
t分布的定义的符号表达：
有 X 与 Y 相互独立 i f ： X ∼ N ( 0 , 1 ) ， Y ∼ χ 2 ( n ) ; t h e n ： t = X Y / n ∼ t ( n ) ；有X与Y相互独立\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \ \\ if：\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \quad X \sim N(0, 1) ，\\ Y \sim \chi^2 (n) ;\\ \ \\ then：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)；有X与Y相互独立 if：X∼N(0,1)，Y∼χ2(n); then：t=Y/n X∼t(n)；
t分布的期望和方差
t分布跟小样本息息相关：
和t分布有关的抽样分布：

F F F 分布的定义：
F F F 分布的定义的符号表达：
有 Y 和 Z 相互独立 i f ： Y ∼ χ 2 ( n ) ， Z ∼ χ 2 ( n ) ； t h e n ： X = Y / m Z / m ∼ F ( m , n ) ；有Y和Z相互独立\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \ \\ if：\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ Y \sim \chi^2 (n) ， \\ Z \sim \chi^2 (n)；\\ then：\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ X = \frac{Y/m}{Z/m} \sim F(m,n)；有Y和Z相互独立 if：Y∼χ2(n)，Z∼χ2(n)；then：X=Z/mY/m∼F(m,n)；
F F F 分布的期望和方差：
F F F 分布的 p p p分位数：
F F F分布和 t t t分布的关系
i f ： X ∼ t ( n ) t h e n ： X 2 ∼ F ( 1 , n ) if：\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ X \sim t(n) \\ then：\qquad\qquad\qquad\qquad\\ X^2 \sim F(1,n) if：X∼t(n)then：X2∼F(1,n)

样本均值的分布

X ∼ N ( μ , σ 2 ) → X − μ σ 2 = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) → X ‾ − μ σ 2 / n = X ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) \rightarrow \frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) \\ \ \\ \overline X \sim N(\mu, \sigma^2/n) \rightarrow \frac{\overline X-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} = \frac{\overline X-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) X∼N(μ,σ2)→σ2 X−μ=σX−μ∼N(0,1) X∼N(μ,σ2/n)→σ2/n X−μ=σ/n X−μ∼N(0,1)
中心极限定理（n要充分大）

什么是充分大呢：