椭圆的标准方程准确来说是在这个位置摆放的椭圆的方程。

图中的 \(C\) 是一个动点，椭圆的一个定义是，\(|AC|+|BC|=定值\)，一般设这个定值为 \(2a\)。

\(|AB|\) 称为焦距，一般设为 \(2c\)。

一般设一个 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)，可以看出在图中所示的位置 \(|CD|=b\)。

很容易可以看出 \(b\) 是椭圆的短半轴长，另外，\(a\) 是椭圆的长半轴长。

椭圆的离心率是 \(e=\cfrac ca\)，\(\dfrac ca=\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\)，可以看出，椭圆越扁，或者说越苗条，这个离心率就越大，同时 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) 也越大，也就是说可以把离心率理解成两个焦点偏离中心的程度，而且这个离心率的大小在 \((0,1)\) 之间。

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现在推导椭圆方程。

\[\begin{align} \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=2a\\ (x+c)^2+y^2&=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ a-\frac cax&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ (a-\frac cax)^2&=(x-c)^2+y^2\\ (\frac{c^2}{a^2}-1)x^2-y^2&=c^2-a^2\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}&=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1 \end{align} \]

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这个方程可以有一些变形。

可以发现，椭圆的关键数据就是 \(a,b,c\)。

那么，如果长轴沿着 \(y\) 轴呢？尝试后可以发现，把标准方程的 \(x\) 和 \(y\) 交换就行了。

但是现在标准方程所能表示的也只有中心在原点，长轴平行于 \(x\) 或 \(y\) 轴的椭圆，虽说可以通过简单的平移让标准方程能表示的椭圆变多，但标准方程是不能表示平面中所有椭圆的。

顺便一提，当 \(a=b\) 时，椭圆变成一个圆，离心率为 \(0\)，而且椭圆的方程此时也变成了圆的方程。