这只是个伪题解，请配合配合完整版英文食用。
想要解决本题，首先要思考两个问题：
1.如何在给定的局面下(即k=n+1)，快速求出两个人赢得次数。
2.对于两个人做出的所有的决定进行暴力搜索，判断出那个决定是最优的，如何加速这个搜索过程。
先来考虑问题一：
首先考虑一个空的图，里面有\(n\)个点,我们定义\(G_0\)为原来的空图。每一个声称都是在上一个声称的基础上加上一个无向边\((a_i,b_i)\),同时第\(i\)个声称之后，图为\(G_i\)。这个图可能包含重边和环。
我们来模仿\(Claire\)来做决定，若在第\(i\)个声称中选择了\(a_i\)，就将无向边\(a_i,b_i\)变为从\(b_i\)指向\(a_i\)的有向边。要让游戏继续下去，每个点入度最多为1.
我们定义\(G\)是一个无向图，\(f(G)\)为整个图在给每个边确定一个方向后，满足每个点的入度最多为1的不同图的个数。显然\(f(G_0)=1,f(G_1)=2\),接下来的\(f\)依赖于图\(G\)的形状。
对于一个图\(G\)，我们考虑将图\(G\)划分连通块，显然在一个连通块里定向某条边并不影响其他连通块的定向，所以我们可以对每个连通块求一下个数，最后相乘。
考虑一个有\(m\)个点的连通块，它至少应该有\(m-1\)条边，让我们做以下分类讨论：
1.有\(m-1\)条边，我们可以从\(m\)个点里选出一个做根，然后所有的父亲指向儿子作为边的方向，所以一共\(m\)种。
2.有\(m\)条边，是一颗基环树，我们找到环，环上的边有两种定向方法，之后以环为根还按照父亲指向儿子。所以共有2种定向。
3.有至少\(m+1\)条边，根据鸽巢原理，至少有一个点的入度为2，所有共有0种定向。
接下来我们定义\(g(i)\)为在第\(i\)轮结束游戏的个数。显然\(Alice\)赢得次数为 \(g(2)+g(4)+g(6)+...\)对于i从1到n+1，有\(g(i)=f(G_{i-1})*2^{n+2-i}-f(G_i)*2^{n+1-i}.\)以下开始证明：首先我们知道\(f(G_{i-1})为前i-1\)个定向好之后图的个数，即\(Claire\)已经选择了\(i-1\)个游戏还没结束，那么之后的所有游戏一定在\(i,i+1,i+2...n+1\)轮游戏时结束游戏。一共\(n+1\)条边，已经有\(i-1\)定好了方向，剩下\(n+2-i\)条边没定方向(即没做选择)，由于每轮有两个
选择所以后面的方案数为\(2^{n+2-i}\)。故在第\(i-1\)轮之后结束的游戏一共的场数为\(f(G_{i-1})*2^{n+2-i}\)，同理，在\(i\)轮之后结束的游戏一共的场次为\(f(G_i)*2^{n+1-i}\),那么两者的差就是在第\(i\)轮结束游戏的场次了。证毕。
问题一解决了，接着看问题二：
其实他们的目标可以归结为：\(Alice\)希望自己赢得场次尽可能多，而\(Bob\)希望\(Alice\)赢得场次尽可能少。对于每一次声称，他们每个人都有多种选择，我们完全可以计算出他们所有选择中的最优解（对于\(Alice\)而言就是自己赢得多，\(Bob\)就是\(Alice\)赢得尽可能少）。这样直接做选择就行。

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