当想要对某一个函数\(f\)施以操作\(D\)时，经常会发现这个过程过于困难。也就是说，\(f\)的性质不利于\(D\)的进行。联想到初中所学过的知识，很容易就能够想到，要将操作主体进行等价变形，变形成适合进行\(D\)的样子\(g\)。而这个变形一定是由某一个操作而驱动的，对于数来说，可以想到，有加减乘除，乘方开方取对数等。不过对于函数，还有自己独特的运算，也就是求导和积分。

不利于求导的函数

当\(D\)为“求导”，可以发现，一般的函数都是不利于求导的。而\(g\)则可以选取易于求导的幂函数。

来看看\(g\)的通式：

\[g(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}(a_n (x+b_n)^n) \]

我们现在想要的是，对于每一个任意形式的\(f\)，都能够找到一个\(g\)，并且已知，\(g\)的性质易于进行D运算。那么很明显，我们可以设式子\(f(x) = g(x,a_n,b_n)\)，然后同时对等式两边施以操作D.

下面过程略。

很容易得到，泰勒展开式:

\[f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

不利于积分的函数

当\(D\)为“积分”，易得\(g\)为三角函数。这是因为三角函数在希尔伯特空间内具有着正交性，这使得它易于积分。

来看看\(g\)的通式：

\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}a_n sin(n\omega x + b_n) \]

做一系列变换，有：

\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}[a'_n\cos(n\omega x) +b'_n\sin(n\omega x)]\\ \begin{cases} a'_n =a_n \cdot \sin b_n\\ b'_n = a_n \cdot \cos b_n \end{cases} \]

下面过程略。

很容易得到，傅里叶展开式：

\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\cos(n\omega x) +b_n\sin(n\omega x)]\\ \begin{cases} a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cos(n\omega x)dx\\ b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\sin(n\omega x)dx \end{cases} \]